数学の微分方程式の問題教えてください。

質問

やってもらいたい問題は、３番の問題です。

答えが載っているので、途中式お願いします。
３番の問題です。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

N＝N(t)とおく。
速さdN/dtは、物質量N(t)に比例するから、
dN/dt＝aN　aは比例定数(a≠0)

∫dN/N＝∫adt
logN＝at＋C＝loge^C・e^atより、
|N|＝e^C・e^at
±e^C＝Cとおくと、N(t)＝N＝Ce^at
N(0)＝Ce^0＝N0より、C＝N0
よって、N(t)＝N0e^at　……(1)

ラジウム226Raの半減期を1600年とするから、
1600年後、最初の量N0の半分になるから、N(1600)＝N0/2，
(1)より、N(1600)＝N0e^1600a
よって、N0/2＝N0e^1600a　より、1/2＝e^1600at　……(2)
両辺の対数をとると、
log(1/2)＝loge^1600a　より、-log2＝1600a
よって、a＝-log2/1600
(1)に代入して、N＝N(t)＝N0e^(-log2/1600)t　……(3)　は答え

(3)より、100年後の物質量は、
N(100)＝N0e^(-log2/1600)・100＝N0e^(-log2/16)＝N0・(e^(-log2))^(1/16)
(2)より、1/2＝e^(1600・(-log2/1600))＝e^(-log2)　だから、
N(100)＝N0・(1/2)^(1/16)＝(1/2)^(1/16)N0

最初の量はN(0)＝N0だから、100年間で消滅した量は、N(0)－N(100)より、
{N(0)－N(100)}/N0
＝[N0－{(1/2)^(1/16)N0}]/N0
＝1－{(1/2)^(1/16)}
＝0.0423……より、
よって、4.2％消滅する。

最後は電卓で計算しました。確認してみてください。