図形と計量に関しての問題

質問

宿題で分からない問題があったので、教えてください。
高一です。
授業でやったことは覚えているのですが、教科書に載ってないし、ノートも見つかりません。
途中の考え方もお願いします。

三辺の長さがa-1,a,a+1である三角形について、次の問題に答えなさい。
１、この三角形が鈍角三角形であるとき、aの範囲を求めよ。
２、この三角形の内角の一つが150°であるとき、外接円の半径を求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞三辺の長さがa-1,a,a+1である三角形について、次の問題に答えなさい。
a－1＞0，a＞0，a＋1＞0より、共通範囲は、a＞1　……(1)

＞ １、この三角形が鈍角三角形であるとき、aの範囲を求めよ。
鈍角をαとおくと、90°＜α＜180°より、-1＜cosα＜0　……(2)
この角の対辺は、a＋1　だから、
余弦定理より、
cosα＝{(a－1)^2＋a^2－(a＋1)^2}/{2a(aー1)}＝(a^2－4a)＝2a(a－1)＝(a－4)/2(a－1)
(1)より、a－1＞0だから、(2)より、-1＜(a－4)/2(a－1)＜0から、-2(a－1)＜a－4＜0
－2a＋2＜a－4より、6＜3a，2＜a
a－4＜0より、a＜4
これらと(1)の共通部分は、2＜a＜4

＞ ２、この三角形の内角の一つが150°であるとき、外接円の半径を求めよ。
150°が三角形の最大の角だから、対辺はa＋1
余弦定理より、
(a＋1)^2＝(aー1)^2＋a^2－2・(a－1)・a・cos150°
a^2＋2a＋1＝a^2－2a＋1＋a^2－2(a^2－a)・(-√3/2)
(√3＋1)a^2－(√3＋4)a＝0
a{(√3＋1)aー(√3＋4)}＝0　(1)より、a＞1＞0だから、
(√3＋1)a－(√3＋4)＝0より、
a＝(√3＋4)/(√3＋1)＝(√3＋4)(√3－1)/(3-1)＝(3√3－1)/2（2＜a＜4を満たす）
よって、a＋1＝(3√3＋1)/2
正弦定理より、
(a＋1)/sin150°＝2R（Rは外接円の半径)より、
{(3√3＋1)/2}/(1/2)＝2R
よって、R＝(3√3＋1)/2

確認してみてください。

お礼

解答ありがとうございます。
１、に余弦定理を使うとは考え付きませんでした。

回答No.1

ereserve67

まず辺の長さa,b,cは三角不等式

|b-c|<a<b+c

を満たす必要があります．b=a-1,c=a+1として

2<a<2a⇔a>2・・・(1)

最大辺a+1に対する角をθとすれば

１．鈍角三角形⇔θ＞90°⇔cosθ<0

であるから余弦定理より

（☆）cosθ={(a-1)^2+a^2-(a+1)^2}/{2(a-1)a}<0

(1)よりa>1だからこの不等式は

(a-1)^2+a^2-(a+1)^2<0

a^2-2a+1+a^2-a^2-2a-1<0

a^2-4a=a(a-4)<0

0<a<4

(1)より

2<a<4

２．１．のθ=150°である．☆に代入して

-√3/2={(a-1)^2+a^2-(a+1)^2}/{2(a-1)a}=a(a-4)/{2(a-1)a}=(a-4)/{2(a-1)}
-√3(a-1)=a-4
-(√3+1)a=-√3-4
a=(√3+4)/(√3+1)=(√3+4)(√3-1)/2=(-1+3√3)/2　(2<a<4を満たす)

よって正弦定理より外接円半径をRとすると

R=(a+1)/(2sin150°)=a+1=(1+3√3)/2

お礼

解答ありがとうございます。
１、に余弦定理を使うとは考え付きませんでした。