数え方の工夫

質問

１から８までの数を１つずつ書いた８枚のカードが２組ある。
それぞれから１枚ずつカードをとり、
２つの数が異なるときは、大きい数の２倍から小さい数をひいた数をXとし、
２つの数が等しい時はその数をXとする。
１組から１枚のカードをとるとき、どの数も1/8の確率で取り出されるものとする。

（１）X=7となる確率

（２）Xの期待値を求めよ。

（１）から分かりません(><)

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.4

staratras · ベストアンサー

（１）１から８までの数字が書かれたカードの２つの組のうち、一方の組からひいた数をx、もう一方からひいた数をyとします。
題意から、　x>yのときX=2x-y、x=yのときX=x=y、x<yのときX=2y-x です。
これを表にすると添付した図のとおりです。すべての組み合わせは8^2=64通りあり、選ぶ確率は１/６４でみな同じです。
このうちx=7となるのは次の７通りです。(x,y)=(1,4),(4,1),(3,5),(5,3),(5,6),(6,5),(7,7)
したがって求める確率は７／６４です。

（２）図を見るとx=yの組み合わせ(水色）をはさんで数字が対称になっています。
このうち右下の(x>y)の部分を右下から左上、そこから真下に読むと次の通り非常に規則的であることがわかります。（□は文字位置を揃えるため）
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
□□5,6,7,8,9,10,11,12,13
□□□□ 7,8,9,10,11
□□□□□□9
この部分の和を求めると、
(3+4+14+15)+(5+6+12+13)・2+(7+8+10+11)・3+9・4
=36+36・2+36・3+36=36・7=252
また1+2+3+4+5+6+7+8=9・4=36 だから
64通りのXの値の総和は、252・2+36=540となり
求める期待値は540/64=135/16 です。

※（２）は（１）と同様にX=1からX=15までの確率をすべて求めて、それぞれのXの値に乗じて加える方法が基本かもしれませんが、初めにXの総和を求める方が計算ミスのおそれが少ないと考えました。

回答No.5

staratras

No.4です。（２）の初めの方に訂正があります。失礼しました。

誤：右下の(x>y)の部分を右下から左上、そこから真下に読むと…
正：右下の(x>y)の部分を左下から右上、そこから真下に読むと…

お礼

ありがとうございます＾＾＊

回答No.3

Subaru_Hasegawa

期待値があるから中高生と思うが、（１）は小学校レベルの問題です。
紙に図を描いて数えればいいのです。小学校レベルの問題ができないので、
算数から復習しましょう。今のレベルの勉強をしても時間の無駄ですよ。

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞全体の場合の数は8×8=64とおりであるから、求める確率は1/16。

こうはならないですね。
a≧bという条件を加味してください。

回答No.1

asuncion

大きい数=a, 小さい数=bとおく。a=bの場合があるかもしれないことに留意。

設問1
b=1のとき、a=4
b=2のとき、X=7にはならない。
b=3のとき、a=5
b=4のとき、X=7にはならない。
b=5のとき、a=6
b=6のとき、X=7にはならない。
b=7のとき、a=7
b=8のとき、X=7にはならない。
よって、X=7になる(a, b)の組は、(4, 1), (5, 3), (6, 5), (7, 7)の4とおり。
全体の場合の数は8×8=64とおりであるから、求める確率は1/16。

設問2
Xの最小値は1、最大値は8×2-1=15
Xが1～15の値をとるケースを、設問1にならってすべて数え上げる。