１アウトまでに打てるヒット数の期待値

質問

野球の確率問題です。
全員が1/3の打率で打てるバッターとする。
打つときはシングルヒットのみとする。
という単純な想定をします。

このとき一回アウトになるまでの打てるヒット数の期待値は何でしょうかという問題があって解説が

1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+・・・・・

でした。
わからないのは
普通P(x=X)というようなときに期待値を考えるもんだと思うんですが、
1/3の累乗ってことはP(x≧X)という確率を考えてますよね。そこからどういうプロセスがあってこの期待値の計算になったのかというところです。

よろしくお願いします。

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

こういう分布を幾何分布と言います。

期待値を真面目に定義どおり計算するなら、確かに、
１*(1/3)*(2/3)+2(1/3)^2*(2/3)+3*(1/3)^3*(2/3)+・・・・+
となりますが。

別の考え方として、E[X+Y] = E[X] + E[Y]を利用して。
「一回アウトになるまでの打てるヒット数の期待値」
＝「１人目の打者が打つヒット数の期待値」 ＋ 「２人目の打者が打つヒット数の期待値」 ＋ 「３人目の打者が打つヒット数の期待値」＋ …
と思うと、1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+・・・・・になります。
ここで、例えば、
「２人目の打者が打つヒット数の期待値」＝１(本)×「２人目の打者に打順が回ってくる確率」×「２人目の打者がヒットを打つ確率」＝(1/3)^2 （本）
ですし、
「３人目の打者が打つヒット数の期待値」＝１(本)×「３人目の打者に打順が回ってくる確率」×「３人目の打者がヒットを打つ確率」＝(1/3)^3
です。

お礼

なるほど！
氷解しました。

ありがとうございます。

回答No.3

koko_u_

>確率論の教科書ではほぼ共通の記号なので通じるかと思ってしまいました。

ええと。今の問題に即して P(x=X) などが何を意味しているのかを補足して欲しかったんですわ。
この問題で考えるべき確率空間が何かわかっていますか？

お礼

なぜ古典確率論で解ける問題に確率空間を考える必要があるのでしょうか。

回答No.2

proto

おそらく期待値の定義に従って計算しているだけ。
X=x[i](iは自然数、添え字です)となる確率がP(X=x[i])で与えられるときの、Xの期待値は
　　E(X) = Σ[i=0～∞]{x[i]*P(X=x[i])}

＞P(x≧X)という確率を考えてますよね。
というより、本来期待値はXが取り得るすべての値について確率と確率変数の積の総和を取りますからね。
この場合1アウトまでに打てるヒットの数は考えられる範囲で0ヒットから∞ヒット(いくらでも大きい値を間上げられるという意味)ですから無限級数になるという話。
逆に総和を取らなければ期待値の計算として完結していないように思うんですが。

お礼

ありがとうございます。
ほんまに定義どおりでしょうか？疑問なのはそこなんです。

1回起こる確率は1/3
二回起こる確率は(1/9)ですが、一回起こる確率に二回起こる分が入ってしまいます。

次回2/3の確率でストップすると考えて
１*(1/3)*(2/3)+2(1/3)^2*(2/3)+3*(1/3)^3*(2/3)+・・・・+
こうする納得いくのですが。

ちなみにこれを計算するとたしかに初項1/3　公比1/3の等比数列になりますが、いきなり期待値はこれと計算もせずにだしてたことが最大の疑問です。

回答No.1

koko_u_

>普通P(x=X)というようなときに期待値を考えるもんだと思うんですが、
今書いた、P、x、X が何かを補足にどうぞ。

お礼

ありがとうございます。
確率論の教科書ではほぼ共通の記号なので通じるかと思ってしまいました。

P(x=X)「確率変数Ｘがxになる確率」
p<(x>X)「確率変数Xがxより小さい確率」

です。