この写像fの意味が分かりません

質問

ttp://www.math.wm.edu/~ckli/ima/note-5.pdf

のp2の2 Operator monotone and perator convex functionsにて
11行目ではfは実数(スカラー)を定義域としてあるのに(f:R→R),
14行目ではf(A)と書かれていてます。Aは行列であってスカラーではないのににです。

f(A)はどのように解釈すればいいのでしょうか?

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

n個の数値 x1, ・・・, xn を対角上に並べた行列（対角要素以外はすべて0）の行列を diag(x1, ・・・, xn) と表すことにします。

Hn の説明が見当たりませんが、多分、 n 次エルミート行列全体を指すのでしょう。そこで、A をエルミート行列だとします。

A の固有値を a1, ・・・, an とすると、これらはすべて実数です。さらに、適当なユニタリ行列 U が存在して、

A = U^(-1)diag(a1, ・・・, an)U

と表すことができます。すると、 f(A) は、次の式で定義されます。

f(A) = U^(-1)diag(f(a1), ・・・, f(an))U

お礼

どうも有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

回答No.5

ramayana

実は、「A の固有値が全て、f のマクローリン展開の収束円に入っている」という条件が満たされなくても、「A の最小多項式が (z － a1)^r1 • • • (z － ak)^rk であって、各 aj の近傍で f が rj － 1 次までの導関数を持つ」という条件が満たされれば、f(A)が定義できる、と引用された文献の１ページ目７行目以下に書かれておりました。

お礼

どうも有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

回答No.4

alice_44

もっと一般に、対角化不能な行列へも拡張できる。
f のマクローリン展開を A の固有多項式で
割った余り(多項式になる)へ、A を代入して
しまえばいい。これが意味を持つためには、
A の固有値が全て、f のマクローリン展開の
収束円に入っている必要があるが。

お礼

どうも有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

回答No.2

ramayana

ええっと、f(t)が固有多項式とは書いてないし、ケーリーハミルトンの定理について述べてるようにも見えませんけど。

お礼

ええ!?

そっそうしますと簡単に言えばこのf(A)何を意味するのでしょうか?

回答No.1

ramayana

１ページ目の４行目に

"every function f : C → C can be extended to diagonalizable matrices"

と書かれていて、その後に "More generally ～" とも書かれていますが？

お礼

大変有難うございます。

つまり,f(t)は固有多項式で
ケーリーハミルトンの定理についてを述べてあるのですね?