論理学 逆・裏・対偶と演繹について

質問

論理学の本を読んでいるのですが、考えても回答を読んでもよくわからない問題があります。

次のA,Bが言えているとする。
A　バイトがない日には、一郎は買い物に行く。
B　バイトがある日には、次郎はバイトをして買い物も行く。

以上の前提から1,2について正しく演繹できるかどうか説明せよ。
1　次郎が買い物に行かない日には、一郎は買い物に行く。
2　一郎と次郎がともに買い物に行く日はない。

この問題について、まずA,Bそれぞれの逆・裏・対偶は
A逆 　：一郎が買い物に行くなら、その日はバイトがない。
A裏 　：バイトがある日には、一郎は買い物に行かない。
A対偶：一郎が買い物に行かないなら、その日はバイトがある。

B逆　 ：次郎がバイトと買い物両方行くなら、その日はバイトがある。
B裏　 ：バイトがない日には、次郎はバイトと買い物の少なくともどちらかには行かない。
B対偶：次郎がバイトと買い物の少なくともどちらかには行かないなら、その日はバイトがない。

これで正しいのでしょうか？
また、問題1,2についての説明をお願いしたいです。
面倒だとは思いますが、どうかご教授ください。

回答No.1

noname#175206 · ベストアンサー

一郎と次郎は同じバイトで同じシフトとします（そうでないなら、どちらがどうかは、どうでも良い）。

>A　バイトがない日には、一郎は買い物に行く。

→命題「バイトがない日は、一郎が買い物に行く日である。」
　バイトがない日は、一郎は必ず買い物に行くと解せます。しかし、バイトがある日に、一郎が買い物に行かないことは否定されていません。バイトがある日に、一郎は買い物に行くかもしれないし、行かないかもしれない。

　対偶「一郎が買い物に行かない日は、バイトがある日である。」

>B　バイトがある日には、次郎はバイトをして買い物も行く。

→重複を避けた命題「バイトがある日は、次郎が買い物に行く日である。」
　バイトがある日は、次郎は必ず買い物をします。しかし、バイトがない日に次郎はバイトには行けないは当然ですが、買い物に行かないことは否定されていません。バイトのない日に、次郎は買い物に行くかもしれないし、行かないかもしれない。

　重複を除いた対偶「次郎が買い物に行かない日は、バイトがない日である。」

>1　次郎が買い物に行かない日には、一郎は買い物に行く。

　次郎の対偶から、バイトがない日と確定します。それにより、一郎の命題から、一郎が買い物に行く日と確定できます。

>2　一郎と次郎がともに買い物に行く日はない。

　両者は、バイトの有無に関わらず買い物に行く可能性があります。したがって「バイトに行く日」は「買い物に行く日」の判定には使えません。残るのは「買い物に行く日」という条件だけですが、一郎と次郎の共通集合であっても、条件からその条件自身の真偽を判定することはできません。

お礼

詳しく解説していただきありがとうございます。
よくわかりました。
難しい所は多いですが、論理学の勉強を続けていこうと思います。

回答No.2

NemurinekoNya

「B　バイトがある日には、次郎はバイトをして買い物も行く。」
は結構、厄介な部分を含んだ命題ですね。
次郎、バイトのある日にズル休みをするかもしれないから（笑い）
バイトのない日にバイトをしたら、その日を「バイトがある日」と認めるかどうか、この命題からは判断ができないので。
つまり、「バイトがある日」に「バイトをする」とは限らないんだわ。

なので、質問者のB裏、B対偶でも結構ですが、
B裏　：バイトがない日には、次郎が《バイトをしない》または《買い物にいかない》。
B対偶：次郎が《バイトをしない》または《買い物に行かない》ならば、その日はバイトがない。
とかにもなります。
《バイトしない》を省くと、「×」がつくオソレがありま～す。
わたしが採点者なら、「引っかかったな」と、ニヤリとしながら減点しちゃいま～す。
ちょ～細かすぎですか、わたし（笑い）

なのですが、横着できま～す、Bの命題。
　《バイトをする》かつ《買い物に行く》　⇒　《買い物に行く》
なので、
B'　バイトがある日には、次郎は買い物に行く。
が成立しま～す。

したがって、結論は、No1さんのおっしゃる通り。
　　１の命題は《真》
　　２の命題は、《真偽不明》、《不定》

お礼

なるほど、そういう落とし穴もあるのですね。
注意していきたいと思います。
回答ありがとうございました。