演繹について

質問

論理学の本を読み始めた初心者なのですが、
演繹がよく分かりません。

と言うのも、
その本で
A,Bは原子論理式

ト～A→[～B→[A→B]]
を証明する時

～A,～B、AトA
～A,～B、AトA→f
～A,～B、Aトf
～A,～B、Aトf→B
～A,～B、AトB
～A,～B、トA→B　（演繹定理)
～A,ト～B→[A→B] (演繹定理)
ト～A→[～B→[A→B]]

としていますが

この”ト”の左側の論理式は、前提ですよね？
なのに上の証明では～AとAが両方前提として扱われています。
ですが、～Aが真、つまりAが偽なのとAが真を前提にするのは
辻褄が合わない気がします。。
何故、互いに矛盾する論理式を前提にしていいのか解る方よろしくお願いします。
後、どの時前提の順番（A、～Aト　は～A、Aト　としていいのか？)を変えてもいい時はいつなのかも教えていただけると幸いです。

回答No.2

minodaiski · ベストアンサー

最初の疑問に対して、結論だけ言えば、

「互いに矛盾する前提を持つ推論の使用は禁止されない。むしろ必要なこともある。」

... ということになります。何だか納得いかない、というところでしょうか。二つの視点から考えましょう。

(推論の正しさという視点)

推論 A, B├ C ... (1) について考えましょう。この推論が正しくなるための条件は...

「A , B が共に真 ならば、C も真である」 ... (2)

... であり、逆に、これが成り立つならその推論は正しいのです。

ここで、A, B の形に制限がないことに注意して下さい。つまり、

A, ~ A├ C ... (3)

の形は規制されてはいない訳です。しかも、条件 (2) を満足しています。( "ならば" の真理関数的な意味に注目。)

条件 (2) は、A, B が決して共に真とはならない場合、C の真偽に関わらず、「推論としては」正しくなります。

(推論の価値という視点)

「推論としては正しい」... この文言の歯切れの悪さが疑念の正体かもしれません。なぜなら、推論自体は正しくても、殆んど価値が無さそうに見えるからです。
大体、二つの一見相反する推論...

A, ~ A ├ C ... (3)
A, ~ A ├ ~ C ... (3)'

... が共に正しい推論だといきなり言われても納得するのは難しいものです。

一見、規則が緩すぎるのかと勘繰ってしまいますが、上の推論 (3) と (3)' の組合せは次の事を教えてくれます。

「前提に矛盾がある推論から得られる結論の真偽は不明である」... (4)

では、このように本来の推論としては無価値とも思えるものが操作の対象として認められるのはなぜでしょうか？

まず、実害がないから問題ない、とは言えます。繰り返しますが、前提に相矛盾する命題が現れた場合の不都合は...

「せっかく前提から結論を導いたのに、真か偽か全く分からない」

... というものであり、逆に言えば、他に不都合はないのです。

もう一つ理由を探せば、ある種のトートロジーの証明に大変役立つから、と言えます。

推論 (3)、(3)' から直ちに(演繹定理を繰返して)、

├ A→(~ A→C)
├ A→(~ A→ ~ C)

の二つが得られますが、これらはそれぞれ...

A→(~ A→C) ... (4)
A→(~ A→ ~ C) ... (4)'

... の二式(命題) がトートロジーであることを示します。

逆に考えて、(3) のタイプの推論が禁止されてしまうと、(4) や (4)' のような命題がトートロジーであることの証明に支障が出ます。(どうにかなるのかもしれませんが、大変窮屈になるでしょう)

そもそも、矛盾する前提の組合せを利用して得られるトートロジーは、病的な何かを感じさせます。

そのような目で問題の推論...

ト～A→[～B→[A→B]]

... を眺めると、結論の式...

～A→[～B→[A→B]] ... (5)

... 自体がほとんど価値を感じさせないことに気が付きます。

「A でないなら」と前置きしながら、最後に「A ならば B です」と言われても困ります。

大体、式 (5) の中の「~ B」は真偽に全く関係ありません。その証拠に、全く無関係の命題 Z に変えてもやはりトートロジーのままです。

～A→[Z→[A→B]] ... (5)改

確認... A が真なら、偽→[ ] 、なので真。A が偽なら、真→[Z→[偽→B]] 。これも、真。よってトートロジー。

(結論)... 相矛盾する前提の話

様々なトートロジーを統一的に扱うには、問題のような、相矛盾する前提を持つタイプの推論も必要と言えそうです。

(最後に)
前提の入れ換え...

A, B├ C
B, A├ C

... については、推論の規則を確認するしかありませんが、一般的には、前提の並び順は必要に応じて入れ換えられるべきものです。

とはいえ、試験対策なら、念のためノートかテキストで裏をとるのが無難でしょう。ここで述べた事と、講義の方向性がズレている可能性はありえます。

お礼

とても分かりやすく説明して頂き、ありがとうございます！
確かに、形式的に見ればAと～Aが前提でもおかしく無い様に思えてきました。
さらに、矛盾した前提からは、そこから作りだされる全ての推論が結論の真偽にかかわらず正しいので、
トートロジーの証明に便利だというのは分かりました。
そこで得られる命題が果たしてなんの価値があるのか（結局、矛盾を前提にしているので結果の真偽も不明なので)は別として、形式的にはごく自然に矛盾がある前提でもなんの問題も無いのですね。
むしろ、前提が矛盾して居ると導き出すためにも、推論のシステムに組み込むことは必要不可欠だと気づきました。
ただの論理学に興味を持った素人ですが、次のステップに勧めそうです。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

あなたが「辻褄が合わない」と感じたとしてもそれは数学的には詮無いことなので定義に戻るべきかと.

お礼

回答ありがとうございます。

確かに、日常的に使っている論理と数学の論理学とでは解釈が違う時もあるみたいですね。
日常の常識にとらわれず、勉強したいと思います。