論理の問題

質問

ある問題集にある（恐らく）論理の問題について、いまいち理解ができなかったので教えて頂きたいと思い、質問しました。
長くなるので、お時間のある方よろしくおねがいします。

問題は以下の通りになります。
【AとBの２人が次のような会話をした。
　A：彼が東京に住んでいれば、彼の娘も息子も独身だ。
　B：それじゃ、彼の娘または息子が独身でなければ、彼の妻は学校の先生をし、かつ、彼の母親はお花の先生をしているということだね。
　このとき、Bの判断の前提として妥当なものはどれか】

そして答えは、
【彼の妻が学校の先生をしていないか、または、彼の母親がお花の先生をしていなければ、彼は東京に住んでいる】
ということらしいです。

解説は、
【Aの発言：（彼東）→（娘独∧息独）
　ここで、対偶をとると、Aの対偶：￢（娘独∧息独）→￢（彼東）
　ド・モルガンの定理より　￢（娘独）∨￢（息独）→￢（彼東）　…(1)
　Bの発言（結論）：￢（娘独）∨￢（息独）→（妻学∧母花）　…(2)
　(1)と(2)から、
　￢（妻学）∨￢（母花）→（彼東）　…(3)
　となり、上記の答えとなる】
です。（書き間違いがあるかもしれません。ご指摘、ご質問よろしくお願いします）
『…(3)』は私の理解度を以下に示すために付け足したものです。
解説には式しか書いてませんでした。

(1)や(2)になることは理解できるんですが、
その二つから(3)になるというのがいまいち理解できません。
理解できる方、よろしくお願いします！

＊＊＊

以下、私が問題文から導いた式を書いておきます。
ここ間違っている！等ありましたらお教え願いたいと思います。

Aの発言：（彼東）→（娘独∧息独）
Aの対偶：￢（娘独∧息独）→￢（彼東）　
ド・モルガンの定理：￢（娘独）∨￢（息独）→￢（彼東）

Bの発言：￢（娘独）∨￢（息独）→（妻学∧母花）
Bの対偶：￢（妻学∧母花）→（娘独∧息独）
ド・モルガンの定理：￢（妻学）∨￢（母花）→（娘独∧息独）

間違っているとすれば、Bの対偶が少し怪しいかなと思うのですが…
それでは、ここまで読んで下さった方、ありがとうございました。
長文失礼しました。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞そこから(3)が出てくるのはどういう手順なのでしょうか？

(1)　￢（娘独）∨￢（息独）→￢（彼東）
(2)　￢（娘独）∨￢（息独）→（妻学∧母花）
ですから、
￢（娘独）∨￢（息独）→￢（彼東）→（妻学∧母花）
という論法が成立するためには、
￢（彼東）→（妻学∧母花）
が成り立てばいいことになります。

これの、対偶とド・モルガン則から、
￢（妻学）∨￢（母花）→（彼東）
が導かれます。

いわゆる三段論法、
「Ａ→Ｂ」かつ「Ｂ→Ｃ」なら「Ａ→Ｃ」
の「Ｂ→Ｃ」を求める問題ですね。

お礼

二回目の回答ありがとうございます。
三段論法の中間地点（？）を求めればよかったんですね！
その説明ですごくすっきりしました。
本当に自分的には発想の転換が必要で…
簡単な問題なのに、ご迷惑をおかけしました。
ありがとうございました！

回答No.2

noname#109344

A：彼が東京に住んでいれば、彼の娘も息子も独身だ。＜（彼東）→（娘独∧息独）＞
対偶を取って
彼の娘または息子が独身でなければ、彼は東京に住んでいない。＜￢（娘独）∨￢（息独）→￢（彼東）…(1) ＞

B：彼の娘または息子が独身でなければ、彼の妻は学校の先生をし、かつ、彼の母親はお花の先生をしている。
＜￢（娘独）∨￢（息独）→（妻学∧母花）…(2)＞

ここで、「彼は東京に住んでいないなら、彼の妻は学校の先生をし、かつ、彼の母親はお花の先生をしている。」（４）
＜￢（彼東）→（妻学∧母花）＞
ことが言えれば、三段論法＜￢（娘独）∨￢（息独）→￢（彼東）→（妻学∧母花）＞で、（２）が証明できる。

それで、（４）の対偶をとれば、
「彼の妻が学校の先生をしていないか、または、彼の母親がお花の先生をしていなければ、彼は東京に住んでいる」
＜￢（妻学）∨￢（母花）→（彼東）＞
となって答えとなる。

こんな感じでどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
詳しい文章で式の説明をしていただいたおかげで、ようやくわかるようになりました！
三段論法をこういう形で使うのは初めてだったので…考えの転換が必要でした。
よくよく考えると初歩的な感じなんですね。勉強になりました！
丁寧な説明、ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

問題の解釈が間違っていませんか。

問題は、「Ｂの判断の前提として妥当なものはどれか」ですから、
(1)と(2)から(3)が導かれるのではなく、
(1)から(2)が導かれるにはなにが必要かという質問です。
つまり、(1)と(3)から(2)が導かれることを示せばいいことになります。

お礼

回答ありがとうございます。
見た瞬間「ハッ」としました！確かに解釈間違ってますね…
気付かず一人でぐるぐると考えていました。ご指摘ありがとうございます！

しかし考えてみたのですが、どうやって導けばいいのかやはりわからずです…。
(1)から(2)を導きだすには何が必要か、ですよね。
そこから(3)が出てくるのはどういう手順なのでしょうか？
理解度が低くてすみません。もしよろしければ教えてください！