数学の進研模試対策の問題

質問

２つの正の数x,yがあり、√x+√y=√6 , xy=1である。ただし、x<yとする。
(1)x+yの値を求めよ。
(2)x^2+y^2, √x-√yの値をそれぞれ求めよ。
(3)｜x√x-y√y|<n<x^2+y^2を満たす整数nの個数を求めよ。

毎回質問ばかりでごめんなさい。
情けないことに(1)からわかりません。
回答、よろしくお願いします。

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

＞（2）を解きました。どうでしょうか。
＞　(1)x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2*1=14
＞　(2)√x-√y=x+y-2√xy=4-2=2
＞(2)のそのあとが分かりません。

√ｘ-√ｙはちょっと工夫がいりますが、考え方は同じです。展開公式をうまく利用します。

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＞√x-√y=x+y-2√xy=4-2=2

これは等式が成り立っていません。
√ｘ-√ｙ≠ｘ+ｙ-2√ｘｙです。
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（√ｘ-√ｙ）＾2をまず求めます。
（√ｘ-√ｙ）＾2＝ｘ-2√ｘｙ+ｙ（展開公式で展開→数値代入）
　　　　　　　　＝4-2*1＝2

両辺の平方根をとります。
√ｘ-√ｙ＝±√2

ここで問題文よりx<yという条件から、√ｘ-√ｙ＜0であることがわかるので、
√ｘ-√ｙ＝-√2
が答えになります。

お礼

わかりやすい回答、ありがとうございました。

展開公式を工夫して解くのですね。あまりこの手の問題を解いたことがなかったのでわかりませんでした。

ありがとうございました。

回答No.3

suko22

与えられている式と問題文の式を見比べると、与えられている式の両辺を二乗すればなにか似たような式が求まりそうな気がしませんか？

(1)√ｘ+√ｙ＝√6の両辺を2乗すると、
（√ｘ+√ｙ）＾2＝6
　ｘ+2√ｘｙ+ｙ＝6
　ｘ+ｙ＝6-2√ｘｙ
　　　＝6-2*√1＝6-2＝4

とするか、

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a+bとabの値が与えられているとき、
展開公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2　から
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab・・・※1

展開公式(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3　から
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)・・・※2
または因数分解の公式から
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)・・・※2’

※1と※2または※2’の式変形はできるようにしておいたほうがいいです。
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上記の式変形を使うと、今√ｘ+√ｙとｘｙの値が与えられているから
ｘ+ｙ＝（√ｘ+√ｙ）＾2-2√ｘｙ
　　　＝6-2*1＝4

あとの問題も全部同じ考え方です。

補足

返事が遅くなってすみません。
（1）の回答の意味はわかりました。ありがとうございます。
（2）を解きました。どうでしょうか。
　(1)x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2*1=14
　(2)√x-√y=x+y-2√xy=4-2=2
(2)のそのあとが分かりません。
回答、お願いします。

回答No.2

ereserve67

(1)x+y=(√x+√y)^2-2√(xy)=6-2=4

(2)

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=16-2=14

(√x-√y)^2=x+y-2√(xy)=4-2=2

0<x<yより√x-√y<0であるから

√x-√y=-√2

(3)

x√x-y√y=(√x)^3-(√y)^3=(√x-√y){(√x)^2+√x√y+(√y)^2}
=(√x-√y){x+y+√(xy)}=-√2(4+1)=-5√2

よって不等式は

5√2<n<14

ここで49<50<64から7<5√2<8，5√2=7.・・・であるから

n=8,9,10,11,12,13

の6個．

回答No.1

aries_1

ヒントだけ書きます。
それでも分からなければ、分からない箇所を書いてください。

(1)√x+√y=√6の両辺を2乗するとx+y+2√xy=6

(2)x^2+y^2:x+yを2乗すると、x^2+y^2+2xy=P(←(1)で求めた値の2乗)
↑この式をx^2+y^2に変えるには？

√x-√y:
√x-√y
=√(x-y)^2
=√(x^2+y^2-2xy)
後は代入

(3)x√x-y√y=√x^3-√y^3=(√x-√y)(x+√xy+y)=Q
後はQの整数部分の絶対値とPを不等式に放り込むだけです