円 直線 距離

質問

円(x-2)^2+(y-3)^2=5と直線x+y+1=0を考える
点Pが円周上を動き、点Qが直線上を動くとき、点Pと点Qの距離の最小値はどうやって求めればよいのか教えてください

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

簡単な図を描いて位置関係を把握してください。

結論から言うと、円の中心（2,3）から直線ｘ+ｙ+1＝0に垂線をおろしたとき、その垂線と円との交点Ｐとその垂線と直線との交点Ｑが線分ＰＱが最小値になるときのそれぞれの点の位置です。（図を描いて確認してください）

点（2，3)と直線ｘ+ｙ+1＝0との距離ｄをまずは求めます。（点と直線の距離の公式）
ｄ＝｜2+3+1｜/√（1＾1+1＾1）＝6/√2＝3√2

円の半径＋最小値ＰＱ＝ｄの関係が成り立っているから、
√5+最小値ＰＱ＝3√2
最小値ＰＱ＝3√2-√5

お礼

わかりました
ありがとうございました

回答No.2

bgm38489

まずは、グラフに書いてみることだが、想像で答える。解法のみね。

円と直線が、多分離れて存在するんだろう。別に、交わっていても問題はないと思うが。
その直線上の一点と、円周状の一点の距離が最小になるわけだから、その点は、円の中心から、直線に下した垂線の交点となる。
直線の式ｙ＝－ｘ＋１に垂直な直線の傾きは、１。
すなわち、この直線の式は、ｙ＝ｘ＋ｂ
後は、円の中心を通るわけだから、直線の式は求まるね。
後は、垂線と円の交点、垂線と元の直線の交点を求めて、後はピタゴラスより距離。

お礼

分かりました
ありがとうございました