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最大値と上限
noname#160683の回答
![noname#160683](https://gazo.okwave.jp/okwave/images/contents/av_nophoto_60_1.gif)
その前に気になるのは 「このとき成り立つ、下の(1)(2)は…」。 この部分は正しくない気がするのですが? あと書き間違いかと思いますが(2)の意味は (Ωの閉包Ω*でのuの最大値は、Ωの境界∂Ωでのuの最大値と等しい) ですね。 境界∂Ωは閉なのでΩの有界性、uの連続性より 関数uを境界∂Ωに制限したものは最大値 (これをvとする)を持つことは分かるかと思います。 (これに注意すれば同値性を示すのは自力でできる/やった方がいいと思うので、 ここから下は読まなくていい/読まない方がいいです…。 自分の回答の確認に役立ててください。) したがって関数uをΩ上に制限したものの上限がvであるとすれば、 定義より、Ωの任意の点xについてu(x)≦vですから、 vは関数uの閉包Ω*上での最大値でもあります。 逆に、関数uの閉包Ω*上での最大値vが 境界∂Ωのある点bで得られるとします。 するとuの連続性より、vに任意に近い値v-ε<vについて、 さきほどの境界上の点bに十分近いΩの点xを選ぶと u(x)>v-εになる。 よって関数uのΩ上での上限はvなのです。
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