図形の問題

質問

図形の問題で、画像の図の問題の解き方を教えてください。

半径1の円Oの円周上にAからFまで6つの点をとり正六角形ABCDEFを作った。
（1）∠ABCの大きさを求めなさい。
（2）頂点Aと頂点Cを結ぶ、線分ACの長さを求めなさい。
（3）正六角形ABCDEFの面積を求めなさい。

答えは
（1）120°
（2）√3
（3）3√3/2
です。

解き方をできるだけ詳しく教えてください。

回答No.2

Dracky376B · ベストアンサー

(1) 公式より、正n角形の内角の和は 180×(n-2) 。
　よって、正六角形の内角の和は
　180×(6-2)=720°

　したがって、１つの内角は
　720÷6 = 120°

別解）
　△OAB について、
　∠AOB ＝ 360°÷ 6 = 60°
　OA＝OB＝1（半径）より、△OABは二等辺三角形
　よって、∠OBA ＝（180°- 60°)÷2 ＝60°
　（※よって、△OABは3つの角が等しいから正三角形。）

　△OBC についても、同様にして、∠OBC ＝ 60°

　したがって、∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝60°＋60°＝120°

(2) 直線OBを引き、ACとの交点をMとする。
　△ABMと△CBMについて
　・△OAB、△OBCは正三角形より、BA＝BC＝1
　・∠ABM＝∠CBM＝60°
　・BM共通
　より、二辺とその間の角が等しいため、△ABM≡△CBM

　よって、∠BMA＝∠BCM
　この時、ACは直線であるから、∠BMA＝∠BCM＝90°

　したがって、△ABMには、∠BAM＝30°、∠ABM＝60°の直角三角形。
　よって、MB：AB：AM＝1：2：√3
　AB＝1より、1：AM ＝ 2：√3
　ゆえに AM ＝ (√3)/2

　△CBMについても、同様にして、CM ＝ (√3)/2

　よって、AC ＝ AM ＋ CM ＝ (√3)/2 ＋ (√3)/2 = √3

(3) △OAB について、OBの中点をMとすると、OB⊥AM
　よって、△OABの面積は OB×AM＝ 1 × (√3)/2 × 1/2 ＝ (√3)/4

　△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA についても同様であるから、
　正六角形ABCDEFの面積＝ 6 × (√3)/4 ＝ (3√3)/2

回答No.3

spring135

正六角形ABCDEFの作り方が書いてないのでこの問題は不適切です。

とりあえずAB=BC=CD=DE=EF=FAに取ったとします。

三角形ＯＡＢにおいてＯＡ＝ＯＢすなわち２等片三角形、∠ＡＯＢ＝360°/6＝60°

頂角60度の２等辺三角形の底角∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝（１８０°-６０°）/2＝６０°

すなわち三角形ＯＡＢは正三角形。同様の理由により

三角形ＯＢＣ、三角形ＯＣＤ、三角形ＯＤＥ、三角形ＯＥＦ、三角形ＯＦＡも正三角形。

（1）∠ABCの大きさを求めなさい。

60°+60°＝120°

（2）頂点Aと頂点Cを結ぶ、線分ACの長さを求めなさい。

三角形ＡＢＣは頂角が１２０°の２等辺三角形。∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝（１８０°-12０°）/2＝３０°

ＡＣとＯＢの交点をＰとすると∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＢ＝９０°

ＡＢ＝1よりＡＰ＝√3/2、ＡＣ＝√3

（3）正六角形ABCDEFの面積を求めなさい。

ＯからＡＢに下した推薦の足をＱとするとＯＱ＝√3/2

三角形ＡＯＢの面積＝ＡＢ×ＯＱ/2＝1×√3/2/2＝√3/4

六角形の面積＝6×√3/4＝3√3/2

回答No.1

PC98

高校数学の範囲で回答します。

（１）外角の和は360°なので、1つあたりの外角は360/6＝60°
　　直線の角度は180°なので、180-60＝120　よって120°

（２）半径1なので、OA=OC=1
　また、∠AOBは六角形を構成する三角形AOBなので、その頂角の角度は60°
　∠AOC=2∠AOBから∠AOC=120°　よって三角形AOCは頂角120°、2辺の長さが1の三角形。
　ここで余弦定理よりACの長さをtとすると、t^2=1^2+1^2-2x1x1xcos120°=3　よってt=√3からAC=√3

（3）一番単純なのはこれ。
　三角形AOBは辺の長さが1の正三角形。これが6つで正六角形なので、その面積は
　三角形AOBの面積を6倍したものに等しい。
　6ｘ（1/2ｘ1ｘ√3/2）＝3√3/2