数1 図形問題の解答お願いします H23.07

質問

下記が問題文です。【1】～【5】が問題箇所です。
出来れば問題の解答の解説も付けて頂けると嬉しいです。
*図は画像を参照してください。

図のように、AC=1、BC=2、∠ACB=120°の三角形 ABC がある。

(1) AB=【1】であり、三角形 ABC の面積は、【2】である。

(2) 三角形 ABC の外接円を O とすると、円 O の半径は【3】である。

(3) C を通る円 O の直径を CD とすると BD=【4】、
また、三角形 BDC の面積は、三角形 ABC の面積の【5】倍である。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1) AB=【1】であり、三角形 ABC の面積は、【2】である。
余弦定理により、AB^2=1^2+2^2-2*1*2cos120°=1+4-4*(-1/2)
=5+2=7からAB=√7・・・答【1】
三角形ABCの面積=(1/2)*2*1sin120°=√3/2・・・答【2】
(2) 三角形 ABC の外接円を O とすると、円 O の半径は【3】である。
弧ACBの中心角=∠AOB=120°だから△AOBは頂角120°、底辺の長さ√7
の二等辺三角形なので、等辺の長さ=外接円の半径rはrcos30°=√7/2
からr=(√7/2)/(√3/2)=√7/√3=√21/3・・・答【3】
(3) C を通る円 O の直径を CD とすると BD=【4】、
また、三角形 BDC の面積は、三角形 ABC の面積の【5】倍である。
∠CBD=90°だからBD^2=CD^2-BC^2=(2√21/3)^2-2^2=84/9-4=48/9から
BD=√(48/9)=4√3/3・・・答【4】
三角形 BDC の面積=(1/2)*BD*BC=(1/2)*(4√3/3)*2=4√3/3
よって三角形 BDC の面積/三角形 ABC の面積=(4√3/3)/(√3/2)
=8/3から三角形 BDC の面積は、三角形 ABC の面積の8/3倍・・・答【5】

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。