平均値と最小自乗平均値

質問

いままで、なんとなくわかったつもりでいましたが、
いざ，自分が使おうとすると考え込んでしまって
どうすればいいのか、頭がゴチャゴチャしてきました・・・。
この二つの意味の違いと、どういう時に使い分けるのかを
教えてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

まず、補足要求させてください。
できたら、最小自乗平均値の定義を教えてください。

以下、推測に基づいて書いちゃいますが、

最小自乗平均値というのは、おそらく、
ある中央値みたいなのを１つ決めると、それと各データとの差の２乗を１個１個足し算した結果が最小になるということでは？
すると、要は、最小二乗法で近似直線を求めるのと同じ考え方になりますね。

さらに、その仮定に基づいて書きますと、
正規分布（ガウス分布）か、あるいはそうでなくても、とにかく左右対称な分布ならば、単純平均値と最小自乗平均値は正確に同じ値になるはずです。

ところが、左右対称とは大きくかけ離れた分布であれば、単純平均値と最小自乗平均値は、かなり異なる値になるでしょうね。

単純平均値を用いずに、わざわざ最小自乗平均を用いるのはなぜか、というのが、ご質問の趣旨ですね？

要はこういうことなのでは？
単純平均値に対して±標準偏差を考えると、標準偏差の値が大きくなっちゃうじゃないですか。
最小自乗平均に対して±標準偏差を考えれば、当然、標準偏差の値が小さくて済みます。

ですから、例えば、あるもののばらつき許容を考えるときに、許容範囲を不必要なまでに広げる必要がなくなるというのが、最小自乗平均の利点だと思います。
というか、むしろ、最小自乗平均を使うほうが、工業的には便利そうですよね。

ただ、単純平均値も、データ全体のことを良く表している数値ですし、計算方法も万民が知っていて理解しやすいですから、捨てがたいのでしょうね。

お礼

どうもありがとうございます。
sanoriさんには、
「平均値±標準偏差は？」の質問でもお世話になりました
おかげさまで、前よりもすっきりして考えることがでしました。いろいろありがとうございました

回答No.2

stomachman

「最小自乗平均値」なるものがもしも、
「E = Σ((x[n]-a)^2) (Σはn=1～N）
を最小にするようなa」
という意味だとしますと、これは単なる平均値と同じです。
なぜなら∂E/∂a =0となるaを求めると、
∂E/∂a = Σ∂((x[n]-a)^2) /∂a
= -2Σ(x[n]-a)
ですから、
-2Σ(x[n]-a)=0
つまり
Σx[n] = Na
となり、
a= (Σx[n])/N