算数-整数の和

質問

お世話になってます。

・連続した27個の整数があって、そのうちの偶数だけの和と奇数だけの和との差は45です。
　この27個の整数の和はいくらですか？
　解説に
　(27－1)÷2＝13
　90×13+45＝1215　

　とあるのですか、どうしてそういう計算になるのかがわかりません・・・。
　なぜそうなるのか教えてくださいm(__)m
　また、できるだけ簡単な計算のしかた教えてください。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

高校生ならば「公差１の等差数列」の応用問題ですが、算数的にといてみます。

連続する最初の整数を□とすると、求めたいのは□、□+１、□+2、…□+25、□+26までの整数27個の和です。

ここで最初の数□が偶数でも奇数でも、最初の数から間にひとつあけた数(□に2,4,6,…を加えた数)は、すべて最初の数と偶数・奇数の種類が同じです(最初の数が偶数なら偶数、奇数なら奇数)。（１）

また2番目の数□+1から、間にひとつあけた数(□に3,5,…を加えた数)は、すべて最初の数と偶数・奇数の種類が反対です。(最初の数が偶数なら奇数、奇数なら偶数）（２）

(1)の数の合計　□+(□+2)+(□+4)+(□+6)+…+(□+24)+(□+26）
(2)の数の合計　　 (□+1)+(□+3)+(□+5)+…+(□+23)+(□+25）

ここで最初の数が偶数でも奇数でも(1)の合計から(2)の合計を引いたものが偶数だけの和と奇数だけの和との差45になります。

上の式から明らかなように(　）の中の□は全部消えて最初の□と1が13個だけ残ります。
つまり　□+13=45　なので □=32です。

求めるのは、32から58(=32+26)までの連続する27個の整数の和になります。

32+33+34+35+…+44+45+46+…+56+57+58
=(32+58)+(33+57)+(34+56)+…+(43+47)+(44+46)+45
=90×13+45=1215

お礼

「等差数列」という言葉ははじめて聞きました。
数の法則などをもっとしっておけば、解きやすくなるのですね！
ありがとうございます。

回答No.6

178-tall

>・連続した27個の整数があって、そのうちの偶数だけの和と奇数だけの和との差は45です。　この27個の整数の和はいくらですか？
>　解説に
>　(27－1)÷2＝13　　90×13+45＝1215
>　とあるのですか、どうしてそういう計算になるのかがわかりません・・・。

>　(27－1)÷2＝13
　　　↑
項数が奇数ゆえ、初項 a1 と終項 a27 とは偶奇が一致。
いずれにせよ、偶奇の連続ペアが 13 組ある、ということ。

初項 a1 を除き後続項のペアリングを想定する。
ペアリングにて偶・奇各和の差は 13 だろう。
この 13 に初項 a1 を足すと、45 ということらしいから、
　a1 = 45 - 13 = 32
以上から初項と項数がわかる。
ここでサッサと総和を勘定してしまえば、32*58/2 = 1215 ですよね。

>　90×13+45＝1215
　　　↑
初項と偶・奇各和の差との 45 を別勘定にしているらしい。

45 を別勘定にすれば、a2, a4, a6 … a26 の総和の 2 倍を求めねばならない。
初項 = 33、終項 = 57、項数 = 13 の和の 2 倍なので、
　(33+57)*13 = 90*13
これに別勘定の 45 をくわえたのが上記の凝った算式。
ご苦労様、というほかなし。

お礼

解説ありがとうございます！

回答No.4

suko22

＞解説に
＞　(27－1)÷2＝13
＞　90×13+45＝1215
解説雑すぎますね？
いまのところ私にはこの解法がわからないので別のやり方を紹介します

偶数だけの和と奇数だけの和の差が正の数だから、偶数の和のほうが大きい＆個数が奇数個（27個）から、偶数からはじまって最後も偶数かな？と考える。
ぐきぐきぐきぐ・・・ぐきぐ（27個）
ぐきの組み合わせは（27-1）÷2＝13組
隣り合う「ぐき」の差は「き-ぐ＝1」（「き」のほうが1大きい）
これが13組あるから1*13＝13（「き」のほうが13大きい）・・・※1
残り一番最後に「ぐ」が一つ残る。
今（偶数だけの和）-（奇数だけの和）＝45
14個の偶数と13個の奇数がいまあるから、
（14個の偶数の和）－（13個の奇数の和）＝45
（13個の偶数の和）－（13個の奇数の和）+（最後の偶数）＝45
ここで※1を考えると
（13個の偶数の和）-（13個の奇数の和）＝-13と書ける。

よって-13+（最後の偶数）＝45
　∴（最後の偶数）＝45+13＝58　→ここで移項を使っています。小学生では難しいかもしれませんので、具体的にぐきぐきぐき・・・ぐと書いて、最後の偶数は45+13になることを示したらよいと思います。

27個の連続する数からなっているので最初の数は58-27+1＝32

和は、
　32+33+34+・・・・・・+56+57+58・・・※2
逆から
　58+57+56+・・・・・・+34+33+32・・・※3

※2と※3の和を考えると、

　90+90+90+・・・・・・+90+90+90＝90×27＝2430

※2と※3は同じで、2回同じものを足しているから、
2430÷2＝1215・・・答え

計算過程でわからなくなったら、具体的な数字で考えてみるとよいと思います。
例えば、2,3,4,5,6,7,8試してみるとか。

自分でなんらかの規則性を見出して解いていきました。この他にもいろいろやりかたはあるかと思います。参考にしてみてください。

お礼

解説ありがとうございます！

回答No.3

eclipse2maven

13 個　偶奇のペアがあって　最後は　片方だけ

最後の数を　ｎとすると　１３個分　減らしたら　４５だから　ｎは５８

２７個数があるから　　最初は　３２

だから　３２から５８まで足した数　　これは　（３２＋５８）＊２７＊（１／２）

９０＊２７＊（１／２）＝　９０＊（２６＋１）＊（１／２）　＝　９０＊１３　＋　４５

お礼

解説ありがとうございます！

回答No.2

missshitsumon44

私も素人です。数学は得意ではありませんでした。これ前提ね。
まず、偶数と奇数の合計の差である45の意味を考えました。
もし連続する整数が偶数個なら必ずその差は　個数/2　になります。
ですが、この問題の場合は奇数個ですから、ひとつ数字があまりますね。それが偶数か奇数かはこの時点ではわかりません。
そこでひとつの数字を除外して差を出してみます。
27個の数字　-　1個の余りの数字　=　26個
26個　÷　2　=　13
次に余った数字が何かということですが、45から13を引けば32であることがわかります。
この32が27個の連続する整数のどちらかの端に来ることになるわけですが、そうなるともう片方も偶数と言うことになります。
もし6で始まる整数の連続であったなら偶数の和と奇数の和の差は19にしかなりませんから32が始まりの数字と言うことになります。
ここで気がつくと思いますが、偶数の和と奇数の和の差の45とは連続する27個の整数の真ん中の数字であった訳です。
あとは簡単ですね。連続する数字の和の求め方
真ん中の数字　×　2　×　(連続する数字の個数 -1 ) ÷　2　+　真ん中の数字　=　答え

ちょっと式を間違えていたので再度登録です(笑い

回答No.1

missshitsumon44

私も素人です。数学は得意ではありませんでした。これ前提ね。
まず、偶数と奇数の合計の差である45の意味を考えました。
もし連続する整数が偶数個なら必ずその差は　個数/2　になります。
ですが、この問題の場合、連続する整数は奇数個ですから、ひとつ数字があまりますね。それが偶数か奇数かはこの時点ではわかりません。
そこでひとつの数字を除外して差を出してみます。
27個の数字　-　1個の余りの数字　=　26個
26個　÷　2　=　13
次に余った数字が何かということですが、45から13を引けば32であることがわかります。
この32が27個の連続する整数のどちらかの端に来ることになるわけですが、そうなるともう片方も偶数と言うことになります。
もし6で始まる整数の連続であったなら偶数の和と奇数の和の差は19にしかなりませんから32が始まりの数字と言うことになります。
ここで気がつくと思いますが、偶数の和と奇数の和の差の45とは連続する27個の整数の真ん中の数字であった訳です。
あとは簡単ですね。連続する数字の和の求め方
真ん中の数字　×　(連続する数字の個数 -1 ) ×　2　+　真ん中の数字　=　答え

と書いては見たものの、これでいいのかなぁ(笑い

お礼

解説ありがとうございます！