数学の問題について。以下の問について教えて下さい。

質問

【1】x=2-√3のときx^3-2x^2-7x-1の値を求めよ。

【2】x^4+1/(x^4)=14のときx+1/xの値を求めよ。

解説も合わせてお願いいたします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

＞【1】x=2-√3のときx^3-2x^2-7x-1の値を求めよ。

そのまま代入します。
(2-√3)^3-2(2-√3)^2-7(2-√3)-1
=8-12√3+18-3√3-8+8√3-6-14+7√3-1
=-3・・・答え

別解）割り算を利用します。
x-2=-√3
(x-2)^2=3
x^2-4x+4-3=0
x^2-4x+1=0

x^3-2x^2-7x-1をx^2-4x+1で割り、余りを求める。

（割られる数）＝（割る数）×（商）+（余り）の式に結果を代入
x^3-2x^2-7x-1=(x^2-4x+1)*(商)+(余り)・・・商と余りは自分で計算してみてください。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　普通の筆算です。
x^3-2x^2-7x-1=（余り）=
余りは２次式で割ったのでおそらく１次式になる。そのxにx=2-√3を代入すると答えが出ます。

＞【2】x^4+1/(x^4)=14のときx+1/xの値を求めよ。

x^2+y^2=(x+y)^2-2xyの式変形を使います。

x^4+1/x^4=14
(x^2+1/x^2)^2-2x^2(1/x^2)=14
(x^2+1/x^2)^2-2=14
(x+1/x)^2-2x(1/x)-2=14
(x+1/x)^2-2-2=14
(x+1/x)^2=18
x+1/x=±3√2

お礼

ありがとうございます。

【1】の方について・・・
直接代入して計算してしまっていいんですね。
ややこしくなりそうで躊躇してしまいました。

【2】の方について・・・
こちらの方はだいたい分かってはいましたが、やはりこのやり方でいいんですね。

詳しい解答・解説をありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

(1)
√3＝2-x　だから2乗すると　x＾2-4x＋1＝0　これは　　x=2-√3　がx＾2-4x＋1＝0の1つの解であることを示している。
x^3-2x^2-7x-1をx＾2-4x＋1で割ると、次の恒等式が出てくる。
x^3-2x^2-7x-1＝(x＾2-4x＋1)*(x+2)－3＝-3.　何故なら　x＾2-4x＋1＝0　だから。

(2)
x＝α、1/x＝βとすると　α＾4＋β＾4＝14、αβ＝1の時　α＋β＝k の値を求める事になる。
α＾4＋β＾4＝(α＾2＋β＾2)＾2-2(αβ)＾2＝(k＾2-2)＾2-2＝14
したがって、k＾2-2＝±4　kは実数から　k＝±√6.

お礼

回答有り難うございます。
こちらも参考にさせて頂きます。