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直線が空間の三角形内部を通るかどうか
muturajcpの回答
- muturajcp
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#7の方とだいたい同じですが、少し具体化しました。 直線 L={(x,y,z)=(x1,y1,z1)+u(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|u∈R} と 3角形 △={(x,y,z)=(a1,b1,c1)+s(a2-a1,b2-b1,c2-c1)+t(a3-a1,b3-b1,c3-c1)|(0≦s)&(0≦t)&(s+t≦1)} の交点を (x,y,z) とすると (x,y,z)=(x1,y1,z1)+u(x2-x1,y2-y1,z2-z1) =(a1,b1,c1)+s(a2-a1,b2-b1,c2-c1)+t(a3-a1,b3-b1,c3-c1) s(a2-a1)+t(a3-a1)+u(x1-x2)=x1-a1 s(b2-b1)+t(b3-b1)+u(y1-y2)=y1-b1 s(c2-c1)+t(c3-c1)+u(z1-z2)=z1-c1 だから 3個の未知数(s,t,u)に関する3元連立1次方程式を解けばよい A= (a2-a1,a3-a1,x1-x2) (b2-b1,b3-b1,y1-y2) (c2-c1,c3-c1,z1-z2) X=転(s,t,u),(転(s,t,u)は(s,t,u)の転置縦ベクトル) B=転(x1-a1,y1-b1,z1-c1) とすると Aの行列式|A|≒0のときLと△が平行となるから交点は無い |A|≠0のときAの逆行列A^{-1}が存在して 転(s,t,u)=X=A^{-1}B とs,t,uを求めることができる。 求めたs,tに対して (s<0)or(t<0)or(s+t>1)のときは△の外を直線Lが通る (0≦s)&(0≦t)&(s+t≦1)のときは△内を直線Lが通る
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