数学I（二次方程式）

質問

添付した画像の問題です。（見にくい場合など、教えほしい時は言って下さい。）

青い波線をした２つ目の答えの出し方が解らないです。
１つ目の答えは出ましたが、こちらもあまり理解していないので、出来たら教えて下さい。

そして、「または」とは何ですか？
どちらかの答えだけ書いていれば丸なのですか？
そうだとすればなぜ、どちらかだけでよいのでしょうか？

回答No.2

oguro- · ベストアンサー

設問はｍを定めて、共通解を求めよ。であって、条件を満たすｍを全て書き出せ。とはなっていないので、どちらか一方を答えればよいはず。両方書かないと×なら、それは設問が悪い。

2次方程式の基本は因数分解です。
x^2+2x+m=0
mがよく分からないので、ここでは因数分解すると
(x+a)(x+b)=0
とおいてみましょう。
ab=m　　　(1)
a+b=2　　　(2)
ですね。

もう１つの式も同様ですが、共通解を持つのが条件なので、共通解を-aとすると、
x^2+3x+2m=0
を因数分解して、
(x+a)(x+c)=0
のようになると置きます。
ac=2m　　　(3)
a+c=3　　　(4)
ですね。

(1)(3)式から
c=2b
これを
(4)式に代入し、(2)式を引くと
b=1
あとは芋づる式に
a=1、c=2、m=1
とわかります。

つまり、m=1、共通解-a=-1
これが青の波線部の途中の計算式です。

では、そもそもこの方程式のグラフはどうなっているか？
それを考えれば、答えが2個あることも見えてきます。
x^2+2x+m=0　・・・(5)
この式はx(x+2)=-m
と書き直すことができ、y=-mとの交点がx=0,-2であることを示しています。
x^2+3x+2m=0　・・・(6)
の式も同様に、y=-2mとの交点が、x=0,-3であるようなグラフです。
どちらも、x^2の係数は1で、これは下に凸の放物線のグラフです。
絵に描くとわかりますが、(5)のグラフが(6)のグラフより完全に上にあるとき、この２つのグラフに交点はなく、方程式の上では共通解なし、となります。
共通解の数を場合わけすると、-m>-2m （つまりmが負の数）のとき、共通解なし。
m=0では、(x,y)=(0,0)で接する。
これが１つ目の答えです。
-m<-2m（つまりmが正の数）では、x<0のどこかで交点を持ち、この交点がy=0と重なるところが共通解となることが分かります。
これが２つ目の答えです。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

f272

x^2+2x+m=0　　　(1)
x^2+3x+2m=0　　　(2)
が共通解を持つというのだから，その解xは(1)(2)の両方を満たす。
だから(2)-(1)も満たすはず。
x+m=0　　　(3)=(2)-(1)
これから，x=-mが出てきて，共通解であるならそれは-mしかないということがわかる。
これを，たとえば(1)に代入してもよいので，そうしてみる。
m^2-2m+m=m^2-m=m(m-1)=0
m=0またはm=1
となった。

m=0のときは二つの式は
x^2+2x=0
x^2+3x=0
となって共通解は0

m=1のときは
x^2+2x+1=(x+1)^2=0
x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0
となって共通解は-1

> そして、「または」とは何ですか？

「AまたはB」というのは，一般的には，Aだけが成り立つ，Bだけが成り立つ，AとBの両方が成り立つ，のどれかであるということ。
今の場合にはm=0またはm=1だから，m=0とm=1の両方が成り立つことはないけれどね。

> どちらかの答えだけ書いていれば丸なのですか？

どちらも書くのが試験でのお約束です。すべて求めよと書いていなくても，すべて求めなければなりません。一部だけ書いてあるだけなら減点の対象です。
「mを定めて共通解を求めよ」というのはmとして考えられるものをすべてかけ。そしてそのそれぞれに対して共通解を求めよということです。
別の例でいえば，たとえばx^2-3x+2=0を満たすxを求めよ，というときにはx=1またはx=2と答えます。x=1だけを答えたら減点ですね。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

itaitatk

ＯＲという意味です。どちらかの条件にあてはまる範囲を聞いているのです

お礼

ありがとうございます！