数学の領域の問題です
問題
xy平面上において、3点A(0,1)、B(1,0)、C(2,2)があり,△ABCの内部および周上を領域Ｄとする。このとき、次の(1)～(3)の各問いに 答えなさい。
（1）領域Dを表す不等式を求めよ。
（2）△ABCの内接円の中心Iの座標を求めよ。
（3）点P(x，y)が領域Dを動くとき、次の(1)、(2)の各問いに答えよ。
(1)x^2＋y^2-4xの最大値と最小値を求めよ。
(2) ax+yの最小値を求めよ。ただし，aは定数とする。
という問題です。
解答を見ても分からないところがあり解説していただくとありがたいです。よろしくお願いします。解答は次の通りに書いてありました。
(1) (解けました。)
y≧-x+1、y≧2x-2、ｙ≦1/2ｘ+1
(2)(分からないところがありました。)
Ｉ(s,t)とおく。点Iと(1)で求めた3つの直線の距離は等しいから
｜s+t-1｜/√2 ＝｜2s-t-2｜/√5 ＝｜s-2t+2｜/√2 となる。
ここで、点Iは領域D内の点であるから、(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より
s+t-1 /√2 ＝-(2s-t-2)/√5 ＝s-2t+2 /√2 これを解いてs=t=√10 +2 / 6
よって(√10 +2 / 6, √10 +2 / 6)
(3)(1)(解けました。)
x＾2＋y^2-4x＝kとおくと、(x-2)^2＋y^2＝k+4より 中心(2，0)、半径√(k+4)
kの最大は点A(0，1)を通るとき
点A(0，1) をx2＋y2-4x＝kに代入してk＝1
Kの最小は直線BCと接するとき
円の中心(2,0)と直線BCの距離は ｜2×2-0-2｜/√5＝2/√5
√(k+4)＝2/√5
ｋ＝-16/5
よって最大値1 最小値-16/5
(2)(分かりませんでした。)
ax+y=kとおくとy=-ax+kとなる
(i)-a≦-1すなわちa≧1のとき
Kの値が最小となるのは点A(0,1)を通るときで、このときk=1
(ii)-1<-a≦2すなわち-2≦a＜1のとき
Kの値が最小になるのは点B(1,0)を通るときで、このときk=a
(iii)2＜-aすなわちa<-2のとき、
Kの値が最小になるのは点C(2,2)を通るときで、k=2a+2
以上より
ax＋yの最小値は、
a≧1のとき(x,y)＝(0,1)のとき、最小値1
-2≦a＜1のとき(x,y)＝(1,0)のとき最長値a
a＜-2のとき(x,y)＝（2，2）のとき最小値2a＋2
質問は以下の4つです。
1つ目
(2)の問題で、「(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より」の条件が書いてありますが、この不等式は点I(s,t)を(1)の式に代入して求めたのでしょうか？
2つ目
(2)の問題で、「s+t-1 /√2 ＝-(2s-t-2)/√5 ＝s-2t+2 /√2 これを解いてs=t=√10 +2 / 6」と書いてあるのですが、どのように計算したのでしょうか？
3つ目
(3)(2)の問題で、3つに場合分けをしていますが、どうしてこの3つに分けられるのですか？この分け方がよく分かりません。
4つ目
(3)(2)の問題で、場合分けをし、「(iii)2＜-aすなわちa<-2のとき、Kの値が最小になるのは点C(2,2)を通るときで、k=2a+2」と書いてありますが、なぜ、点Cなのでしょうか？点Aではだめなのでしょうか？
傾きが同じであったらいいような気がします。また、(i)(ii)でも疑問があります。
この4点の解説をお願いします。
お礼
とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。