最終値定理

質問

http://www.eei.eng.osaka-u.ac.jp/pdf/grad-exam/23/23basic.pdf
大阪大学大学院のこの問題の数学１の（ｃ）について質問があります
tを無限大することでx(t)の値を求める問題ですが僕はX(s)にsをかけてs→0をしてそれが無限大になるというラプラスの最終値定理を求めればいいと思いました
ですが(a)の結果を利用してX(s)を与えられた行列を代入して計算してsX(s)をつくりsを０にしてもX(s)はどの成分も０になり無限大になって示すことができません
そもそもこの方法は間違っているのでしょうか

回答No.11

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

No.7で言っているのは、ラプラス変換を無視しているよ？

X(s)の分母がs^3-αβγだから、特性方程式解いて考えるのは定石。
s^3/(s^3-αβγ)=1+αβγ/(s^3-αβγ)

αβγ/(s^3-αβγ)=c1/(s-y1)+c2/(s-y2)+c3/(s-y3)
の様に展開して示せば十分。

i=1,2,3として、Re(yi)>0となれば時間発展と共に実空間で発散して行くのは容易にわかる。
虚数成分が回転を表しているから、整合は取れる。

工学系の院試でしょ？ラプラス変換を使いこなせるかを問う問題です。

お礼

ありがとうございます
結構単純ですけどなかなか思いつきませんでした

回答No.10

eclipse2maven

うーーん。

No.8 9　は　私の　 No.7　に　何も答えてないように思うんだけど。。。

回答No.9

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ちなみに、s^3=αβγの解から、逆ラプラス変換やれば振動も出てくるんだよね。

回答No.8

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

うん、ベクトルの1要素でも発散したら、それは発散だよ。

回答No.7

eclipse2maven

>No4 No6

＞つまり、s^3-αβγ=0の解のうち一つでもRe(s)>0となるsが存在することを導けば良い。

だけでは、不十分に思うんだけど。

No.6 の話は　対角化できたときの話、一般にはわからない、それと(0,0,1)というベクトルが固有ベクトルではないことは、明らか、サイクリックに回ります。だから、ひとつの固有ベクトルだけ見ても駄目で
固有ベクトル（ないしは一般化された固有ベクトル）の一次結合を考えないといけない。そうすると、無限大ー無限大みたいな状況があるかもしれない。また、一般化された固有空間が出てくるときの議論は全然なされてない。

ラプラス変換だけから、見るのはちょっと無理があるように思うんだけど。いまのところベクトル値関数であることが、ラプラス変換の議論に反映されてない。スカラーのときと混同してるように思えるんですけど。。。

最初の微分方程式は　n=1 のときは　y=e~(at) という指数関数の微分方程式だから、それのベクトル版なわけで、そうすると　y=e~(at)　のベクトル版を考えることは必要に思うんだけど。。。

回答No.6

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

補足説明

特性方程式の解をy1、y2、y3…とおくと、c1/(s-y1)+ c2/(s-y2)+ c3/(s-y3)+…と表すことができる。このとき、yiの中に正のものがあるとと逆ラプラス変換をした際にe^(yit)が出てきて、t→∞にしたとき発散してしまう。

これを利用している。

お礼

ありがとうございます
ハッとしました

補足

ありがとうございます
だからαβγ＞０なんですね

回答No.5

eclipse2maven

exp tA は　普通の指数関数と同じ、級数展開なので、計算は簡単です。

周期的に動くので、それをみれば　発散（無限大に発散というよりも、振動もありの意味で）になるとおもうのですが、どうでしょう？

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

つまり、s^3-αβγ=0の解のうち一つでもRe(s)>0となるsが存在することを導けば良い。

αβγをある実数δで置き換えれば、s^3=δを満たす解のうち、少なくとも1つがRe(s)>0となることを示すには、δが正のときは自明。
δ<0のときどうなるかを考えれば良い。すなわち、x^3=1の解を複素数平面の虚軸対称にして、単位円の大きさだったものをδの3乗根倍のスケールに直せば良い。従って、2つの解がRe(s)>0となる。

従って、t→∞でx(t)は発散する。

お礼

なるほど
ありがとうございます

補足

ありがとうございます

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

|sI-A|=s^3-αβγ=Bとおく。
B(sI-A)^-1
=s^3 0 αβγ
-αβγ s^3 0
0 -αβγ s^3

(sI-A)^-1 x(0)
= |αβγ|
(1/B) | 0 |
| s^3|

s^3/αβγ=Cとおくと

X(s)=
1/(C-1)
0
C/(C-1)

sX(s)=
s/(C-1)
0
sC/(C-1)

s→0でC→0

ほんとだ。

最終値の定理の条件が適用可能なのは、Bの根の実部が正のときに限る。って条件は知ってる？

補足

それではこの場合は適用できないということでしょうか？
となると別の方法ですよね

回答No.2

eclipse2maven

No1　です　訂正

発散は　すぐにはいえない　(^^;

回答No.1

eclipse2maven

外していたら　ごめんなさいね。

最初の微分方程式から　x(t) = exp(tA) x(0)

って決まらないのかなあ

そうすると　すぐ出来ちゃうんだけど。　行列の指数関数は使っちゃダメなのかな？