周回積分についての質問です

質問

次の積分の値を、複素関数の上半平面における周回積分を利用して解くとどうなりますか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

I=∫_{-∞～∞}{1/(x^2+2x+5)}dx
f(z)=1/(z^2+2z+5)
Γ={Re^{it}|0≦t≦π}
C={x|-R≦x≦R}∪Γ
とする
f(z)=1/{(z+1)^2+4}
=1/{(z+1+2i)(z+1-2i)}
f(z)の特異点はz=2i-1,z=-1-2iでいずれも1位の極である
R>3ならば,Cの内部にあるものはz=2i-1だけである
Res[f(z),2i-1]
=lim_{z→2i-1}(z+1-2i)f(z)
=lim_{z→2i-1}1/(z+1+2i)
=-i/4
∴
∫_{C}f(z)dz=2iπRes[f(z),2i-1]=π/2
したがって
∫_{-R～R}f(x)dx+∫_{Γ}f(z)dz=π/2

|z|=R>6
のとき
|f(z)|=|1/{(z+1)^2+4}|=1/|(z+1)^2+4|
≦1/(|(z+1)^2|-4)
≦1/{(R-1)^2-4}
≦1/(R^2-2R-3)
≦2/R^2
だから
|∫_{Γ}f(z)dz|≦∫_{Γ}|f(z)|dz≦2π/R
だから
lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz=0
∴
I=π/2

お礼

ありがとうございます。途中式もあってとても助かりました。

回答No.4

alice_44

lim[R→∞] ∫(-R,R) が主値積分に過ぎない
ことへの手当てとして、最も手間がないのは、
被積分関数が実軸全域で正値であることから、
広義積分の収束が主値の収束と同値になること
に一言触れておくことかな。

お礼

付け足し、ありがとうございます。

回答No.3

muturajcp

I=∫_{-∞～∞}{1/(x^2+2x+5)}dx
f(z)=1/(z^2+4)
Γ={Re^{it}|0≦t≦π}
C={x|-R≦x≦R}∪Γ
とする
f(z)=1/{(z^2)+4}
=1/{(z^2)-(2i)^2}
=1/{(z+2i)(z-2i)}
f(z)の特異点はz=2i,z=-2iでいずれも1位の極である
R>2ならば,Cの内部にあるものはz=2iだけである
Res[f(z),2i]
=lim_{z→2i}(z-2i)f(z)
=lim_{z→2i}1/(z+2i)
=-i/4
∴
∫_{C}f(z)dz=2iπRes[f(z),2i]=π/2
したがって
∫_{-R～R}f(z)dz+∫_{Γ}f(z)dz=π/2
f(-z)=f(z)だから
∫_{-R～0}f(z)dz=∫_{0～R}f(z)dz
∫_{-R～R}f(z)dz=2∫_{0～R}f(z)dz
x=z-1とすると
∫_{0～R}{1/(z^2+4)}dz
=∫_{-1～R-1}{1/(x^2+2x+5)}dx
=∫_{-R-1～-1}{1/(x^2+2x+5)}dx
だから
2∫_{-1～R-1}{1/(x^2+2x+5)}dx+∫_{Γ}f(z)dz=π/2
2∫_{-R-1～-1}{1/(x^2+2x+5)}dx+∫_{Γ}f(z)dz=π/2

|z|=R>3
のとき
|f(z)|=|1/{(z^2)+4}|=1/|(z^2)+4|
≦1/(|z^2|-4)
≦1/{(R^2)-4}
≦2/R^2
だから
|∫_{Γ}f(z)dz|≦∫_{Γ}|f(z)|dz≦2π/R
だから
lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz=0
∴
∫_{-1～∞}{1/(x^2+2x+5)}dx=π/4
∫_{-∞～-1}{1/(x^2+2x+5)}dx=π/4
↓
I=∫_{-∞～-1}{1/(x^2+2x+5)}dx+∫_{-1～∞}{1/(x^2+2x+5)}dx
I=π/2

お礼

二回も回答本当にありがとうございます。

回答No.2

alice_44

毎度の繰り言で申し訳ないが…
この方法で ∫_{-∞～∞} を求める場合に、
lim[R→∞] ∫_{-R～R} から求めるのであれば、
∫_{-∞～∞} が収束することの証明が
別途必要になる。
lim[L→-∞,U→∞] ∫_{L～U} から求めれば、
計算そのものが、積分の収束の証明になる。

お礼

文章での説明ありがとうございます。