大学の数学（代数）です

質問

大学の数学（代数）の問題です。誰かわかる方よろしくお願いします。

Anをn次交代群とする。

問）A4及び部分群V4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}について、剰余群A4/V4の算法の表を書け。

です。よろしくお願いします。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。「A4/V4　同型「位数3の群」」でこれは巡回群なので{e,a,a^2}　(a^3=e)と
なるでよいのですが、A4/V4の意味を考えて初等的にやってみよう。次の補題を用意する。
[補題１]
i,j,kを異なる1からnまでの自然数とすると、巡回置換(i j k)は次のように2つの
互換の積にできる。ゆえに(i j k)∈An
(i　j　k)=(i k)(i j) 　[ただし写像のように右から計算]
「証明」略。
[補題２]　
i,j,k,lを異なる1からnまでの自然数とすると、巡回置換(i j k l)は次のように3つの
互換の積にできる。
(i j k l)=(i l)(i k)(i j) よって(i j k l)∈Snだが、(i j k l)はAnには属さない。
「証明」略。[同様にm個からなる巡回置換でも(m-1)個の互換の積にできる]　
さて、
A4の部分群V4の剰余類を考えるということは、A4の元について
(1 2)(3 4)≡e (mod　V4),(1 3)(2 4)≡e (mod　V4),(1 4)(2 3)≡e (mod　V4)とするということ。
(1 2)(3 4)≡e (mod　V4)⇔(3 4)≡(1 2)^(-1)=(1 2) (mod　V4)つまり(3 4)≡(1 2) (mod　V4)
とするということ。同様に(2 4)≡(1 3) (mod　V4),(1 4)≡(2 3) (mod　V4)　つまり,
(3 4)≡(1 2) (mod　V4),(2 4)≡(1 3) (mod　V4),(1 4)≡(2 3) (mod　V4)・・・(*)
とすること。
このようにしてA4において4の入った互換をmod　V4で1～3までの互換で表すことができる。
[命題３]
A4の元は(1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2),(1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3)の8個と
V4の元(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3),eの4個の元を合わせた12個から成る。
「証明」
[補題１]より
(1 2 3)=(1 3)(1 2)∈A4などと(1 2)(3 4)は2個(偶数個）の互換の積ゆえ(1 2)(3 4)∈A4などによる。
そしてA4の位数は、4!/2=12だから。（「証明」終わり）
(☆)では回答に入る。「A4/V4　同型　A3」を示そう。A4/V4の4の入った置換を1～3までの置換で表す。
まず(*)より
(1 2 4)=(1 4)(1 2)≡(2 3)(1 2)=(1 3 2)=(1 2)(1 3) (mod　V4),
(1 4 2)=(1 2)(1 4)≡(1 2)(2 3)=(1 2 3)=(1 3)(1 2) (mod　V4),
(1 3 4)=(1 4)(1 3)≡(2 3)(1 3)=(1 2 3)=(1 3)(1 2) (mod　V4),
(1 4 3)=(1 3)(1 4)≡(1 3)(2 3)=(1 3 2)=(1 2)(1 3) (mod　V4),
(2 3 4)=(2 4)(2 3)≡(1 3)(2 3)=(1 3 2)=(1 2)(1 3) (mod　V4),
(2 4 3)=(2 3)(2 4)≡(2 3)(1 3)=(1 2 3)=(1 3)(1 2) (mod　V4),
V4をeとするから(1 2)(3 4)≡(1 2)(1 2)=e (mod　V4)などがいえる。
このようにして現れたA4　mod　V4　の元は　mod　V4で{e,(1 2 3),(1 3 2)}となる。
(1 2 3)^2=(1 3 2)で(1 2 3)^3=(1 2 3)^2(1 2 3)=(1 3 2)(1 2 3)
=(1 2)(1 3)(1 3)(1 2)=(1 2)e(1 2)=(1 2)^2=e すなわち、(1 2 3)^3=e　となり、
{e,(1 2 3),(1 3 2)}は位数３の群となる。{e,(1 2 3),(1 3 2)}=A3　である。
[補足]
同様にして、
「S4/V4　同型　S3」も示すことができる。その場合(1 2 3 4 )∈S4だが、
(1 2 3 4 )=(1 4)(1 3)(1 2)なので(1 2 3 4 )はA4には属さない。S4－A4の元は
6個の4つから成る巡回置換(1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4),(1 3 4 2),
(1 4 2 3),(1 4 3 2)と、(1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),(3 4)の6個を合わせた
12個からなる。このとき、
(1 2 3 4 )≡(1 3) (mod V4),(1 2 4 3)≡(2 3) (mod V4)と成ることなどを使う。

回答No.1

alice_44

v4 が A4 の正規部分群であることの言及なしに
A4/V4 が登場したときに、オヤ？と思うべき。
実は、V4 は正規部分群なので、A4/V4 という
記号は意味を持ち、これは A4 の部分群となる。
An の位数が (n！)/2 であることを知っていれば、
群 A4/V4 の位数は 12/4 と判る。
位数が素数の群は巡回群しかなく、よって、
A4/V4 は 3 位巡回群 C3 である。
C3 の演算表は、直ぐに書けないといけない。