数学の線形代数の問題なのですが、分からずに困っています。

質問

数学の線形代数の問題なのですが、分からずに困っています。
|1 a a^2 0|
|0 1 a a^2|
|a^2 0 1 a|
|a a^2 0 1|
この４×４の行列式が分からずに困っています。どなたかお願いします。

回答No.2

Anti-Giants

簡単のためa^2=Aとします.

1 a A 0
0 1 a A
A 0 1 a
a A 0 1

第3行 - 第1行×A.
第4行 - 第1行×a.

1 a A 0
0 1 a A
0 -aA 1-A^2 a
0 0 -aA 1

この4×4行列の行列式は以下の3×3行列の行列式と同じ.

1 a A
-aA 1-A^2 a
0 -aA 1

サラスの展開をして完了.

1×(1-A^2)×1+a×a×0+(-aA)×(-aA)×A-A×(1-A^2)×0-a×(-aA)×1-a×(-aA)×1
=1-A^2+a^2A^3+a^2A+a^2A
=1-a^2A^3+a^2A
=a^8+a^4+1.

回答No.1

ziziwa1130

まず、行列式の性質を用いて、三角行列式に変形しましょう。
それで主対角成分の積を計算すれば良いですよ。