逆行列の解説お願いします

質問

3×3の行列の逆行列を吐き出し法で求める問題なのですが
何度解いてみても答えが合いません。

どなたか解説のほうよろしくお願いします。
問題は以下の通りです。

・次の行列の逆行列を求めよ。

｜１ 　a 　a｜
｜-a 　１　a ｜
｜-a　-a　１｜

回答No.2

info22_

単なる計算の問題で、計算間違いをしないように計算すればいいでしょう。

計算を書いていただかないと間違い箇所が分かりません。

逆行列を計算すれば以下のようになるかと思います。

[1+a^2,-a(1+a),a(a-1)]
[a(1-a),1+a^2,-a(1+a)]/(1+3a^2)
[a(1+a), a(1-a),1+a^2]

回答No.1

alice_44

３×３行列 A =
1 a a
-a 1 a
-a -a 1
の逆行列。

成分に文字を含む行列の場合、掃き出し法は、
面倒な分数式の処理を生じ、得策でありません。
たった３×３なら、クラメル法(余因子法)が簡単。
分母の det A は、第 1 行を使って第 1 列だけ
掃き出せば、余因子展開で２×２行列式になるし、
分子は元々２×２行列式です。

det A =
| 1 a a |
| 0 1+a^2 a+a^2 |
| 0 -a+a^2 1+a^2 |
=
| 1+a^2 a+a^2 |
| -a+a^2 1+a^2 |
= (1+a^2)(1+a^2) - (a+a^2)(-a+a^2)

各余因子も、それぞれタスキガケで行列式を求めます。

どうしても、掃き出し法でやりたい(というか、やれと
言われている)場合には、根性を出しましょう。
やり方の手順は、型どおりです。

拡大行列
1 a a 1 0 0
-a 1 a 0 1 0
-a -a 1 0 0 1
第 1 列で第 1 行を掃き出す
1 a a 1 0 0
0 1+a^2 a+a^2 a 1 0
0 -a+a^2 1+a^2 a 0 1
第 2 列を　1+a^2 で割る
1 a a 1 0 0
0 1 (a+a^2)/(1+a^2) a/(1+a^2) 1/(1+a^2) 0
0 -a+a^2 1+a^2 a 0 1
第 2 列で第 2 行を掃き出す
1 0 a(1-a)/(1+a^2) 1/(1+a^2) -a/(1+a^2) 0
0 1 (a+a^2)/(1+a^2) a/(1+a^2) 1/(1+a^2) 0
0 0 (1+3a^2)/(1+a^2) a(1+a)/(1+a^2) a(1-a)/(1+a^2) 1
第 2 列を　(1+3a^2)/(1+a^2) で割る
1 0 a(1-a)/(1+a^2) 1/(1+a^2) -a/(1+a^2) 0
0 1 a(1+a)/(1+a^2) a/(1+a^2) 1/(1+a^2) 0
0 0 1 a(1+a)/(1+3a^2) a(1-a)/(1+3a^2) (1+a^2)/(1+3a^2)
第 3 列で第 3 行を掃き出す
1 0 0 (1+a^2)/(1+3a^2) -a(1+a)/(1+3a^2) -a(1-a)/(1+3a^2)
0 1 0 a(1-a)/(1+3a^2) (1+a^2)/(1+3a^2) -a(1+a)/(1+3a^2)
0 0 1 a(1+a)/(1+3a^2) a(1-a)/(1+3a^2) (1+a^2)/(1+3a^2)
逆行列は、
(1+a^2)/(1+3a^2) -a(1+a)/(1+3a^2) -a(1-a)/(1+3a^2)
a(1-a)/(1+3a^2) (1+a^2)/(1+3a^2) -a(1+a)/(1+3a^2)
a(1+a)/(1+3a^2) a(1-a)/(1+3a^2) (1+a^2)/(1+3a^2)

正直、うんざりですが。