中学生の幾何を教えてください。

質問

△ABCの2つの中線BM,CNの交点をGとし
MとNを結ぶ。
このとき次の問に答えよ.

1.MN:BCを求めよ。
2.面積比△GMN:△GBCを求めよ。
3.面積比△GMN:GBNを求めよ。
4.面積比△ABC：△GMNを求めよ。

中学生が理解できるように
ご解答宜しくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞△ABCの2つの中線BM,CNの交点をGとし
＞MとNを結ぶ。
＞このとき次の問に答えよ.

＞1.MN:BCを求めよ。
△ＡＢＣで、ＭはＡＣの、ＮはＡＢの中点だから、中点連結定理より、
ＮＭ＝(1/2)ＢＣ，ＮＭ//ＢＣ　だから、
ＭＮ：ＢＣ＝１：２
＞2.面積比△GMN:△GBCを求めよ。
△ＧＭＮと△ＧＢＣとで、
ＮＭ//ＢＣより、錯角が等しいから、
∠ＧＭＮ＝∠ＧＢＣ
∠ＧＮＭ＝∠ＧＣＢ
２つの角が等しいから、
△ＧＭＮ相似△ＧＢＣ
よって、ＭＮ：ＢＣ＝ＧＭ：ＧＢ＝１：２
相似比（辺の比）＝１；２だから、面積比は、相似比の２乗だから、
△ＧＭＮ：△ＧＢＣ＝１^2：２^2＝１：４
＞3.面積比△GMN:GBNを求めよ。
△ＧＭＮと△ＧＢＮで、Ｎを頂点と見ると高さが同じだから、面積比＝底辺の比になる。
△ＧＭＮ：△ＧＢＮ＝ＧＭ：ＧＢ＝１：２（２より）
＞4.面積比△ABC：△GMNを求めよ。
△ＡＢＭと△ＡＢＣで、Ｂを頂点と見ると、３と同じ考えで、
△ＡＢＭ：△ＡＢＣ＝ＡＭ：ＡＣ＝１：２（ＡＭ＝ＭＣより）だから、
△ＡＢＭ＝(1/2)△ＡＢＣ
△ＢＭＮと△ＡＢＭで、Ｍを頂点と見ると、
△ＢＭＮ：△ＡＢＭ＝ＮＢ：ＡＢ＝１：２（ＡＮ＝ＮＢより）だから、
△ＢＭＮ＝(1/2)△ＡＢＭ＝(1/2)×(1/2)△ＡＢＣ
△ＧＭＮと△ＢＭＮで、Ｎを頂点と見ると、
△ＧＭＮ：△ＢＭＮ＝ＧＭ：ＢＭ＝１：３（２より）だから、
△ＧＭＮ＝(1/3)△ＢＭＮ＝(1/3)×(1/2)×(1/2)△ＡＢＣ＝(1/12)△ＡＢＣ
よって、△ＡＢＣ：△ＧＭＮ＝１２：１

でどうでしょうか？図を見ながら確認して下さい。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

１．
１：２

２．
１：４

３．
1：2

４．
１２：１

すべて暗算、頭の中で計算したので、間違ってたらゴメンなさい。