締切済み

証明してください

2012/07/15 15:38

真の命題の対偶が常に正しいこを証明してください

verygoodrugby
お礼率0% (0/5)

数学・算数
回答数1
ありがとう数0

みんなの回答 （1）
専門家の回答

みんなの回答

MagicianKuma
ベストアンサー率38% (135/348)

2012/07/15 17:16 回答No.1

ある命題(P⇒Qの形式)とその対偶は同値です。命題が真なら対偶も真、命題が偽なら対偶も偽です。なので、真の命題の対偶は真です。では、命題(P⇒Q)とその対偶(￢Q⇒￢P)が同値であることを示しておきます。方法１　真理表を作ってみるとすぐ分かる。方法２　P⇒Q　は　￢P∨Q　の事です。すなわち (P⇒Q)　⇔　￢P∨Q ￢P∨Q　⇔ Q∨￢P Q∨￢P　⇔ ￢(￢Q)∨￢P ￢(￢Q)∨￢P　⇔ (￢Q⇒￢P) よって、(P⇒Q)　⇔　(￢Q⇒￢P)

関連するQ&A

対偶を示して証明する背理法について

対偶証明法も背理法の一種と考えることが出来る。という考え方があるのですがそれで、その理由について「命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。命題を背理法で証明するために「pならばq」を否定して「pかつ￢q」。証明されている「￢qならば￢p」はpではないので「pかつ￢p」となり矛盾。背理法が成立して「pならばq」は真となる。対偶法なら「命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。」という説明があるのですが自分は対偶証明法は対偶を示して証明する形式の背理法と「対偶を示して証明する」という流れが同じなので対偶証明法も見方によって「対偶を示して証明する形式の背理法」と考える事が出来るのでそういう意味で「対偶証明法も背理法の一種と考えることが出来る」ということになる、と理解したのですがこの考え方は間違っているのでしょうか?
対偶による証明法と背理法による証明について

数学Iの内容なのですが自分の使っている参考書に対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る。命題p⇒qが真であることをいうために￢qと仮定して￢pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。でも￢q⇒￢pとは文字通りこれは対偶のことで、これが真と言えたから自動的に元の命題が真といってもいいと書いてあるのですが、色々な所で質問してみたのですがどうしてもあまり理解ができません。 (1)命題p⇒qが真であることをいうために￢qと仮定して￢pが導かれたとする導かれた形は￢q⇒￢p 背理法の仮定の形では￢q⇒p (2)pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになるこの導かれた形が￢q⇒￢pで命題の対偶の形をしていてそれによっても命題が真であることが示されているから対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る、と書かれているのでしょうか？
背理法による証明と対偶による証明法について

自分の使っている参考書に「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。命題p→qが真であることをいうために￣q(qでない)と仮定して￣pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。でも￣qならば￣pとは文字通り、これは対偶のことでこの対偶が真といえたから自動的に命題が真といってもいい」と書かれているのですがいまいち意味がわかりません。どういうことなのでしょうか? 数1の内容なのですがあまり数学が得意ではないので簡単に教えていただけると助かりますよろしくお願いします。
論理と集合

すべての正の数ｘに対してa+x>0が常に成り立つならばa≧０この命題を対偶を用いて証明せよこの問題なんですが答えが真になることはわかるけど対偶がわかりません対偶がわかるかたおしえてください！よろしくおねがいいたします
対偶法による無理数の証明について教えて下さい。

√2が無理数ならば√2＋1は無理数であることを証明せよ。を背理法ではなく、対偶法で以下のように考えました。 √2＋1＝P（有理数）とすると√2＝P－1（有理数）となり√2が有理数であることが証明された。よって対偶法が真なので元の命題も真である。これでも問題ないですか？
背理法と対偶法の関係について

自分の使っているテキストに対偶法も一種の背理法と考えることが出来る。命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。命題を背理法で証明するために「pならばq」を否定して「pかつ￢q」。証明されている「￢qならば￢p」はpではないので「pかつ￢p」となり矛盾。背理法が成立して「pならばq」は真となる。対偶法なら「命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。という事が書かれておりこれは「対偶法の考え方でみると「対偶が真」と証明された時点で、自動的に命題が真であると考えますが対偶法の「対偶が証明されると、元の命題が真になる」という流れが自動的にではなく背理法によって証明されている、と考えることが出来るので対偶法は背理法であると考えることが出来て「対偶法は一種の背理法と考えることが出来る」ということになる」ということが書いてあるということで理解できました。しかし、なぜ「一種の」と書かれているのか気になっています。そこはあまり深く考えなくてもいいと別の場では言われたのですが、ここがわからないと理解できた気がせず、どうしても気になってしまい悩んでいます。自分が考えているのは対偶法を背理法として考えた場合、それは「背理法の中の対偶を示して証明する形式のもの」を表している。しかし背理法は対偶以外を示して証明することも出来るので「背理法の何個かある証明の形式のうちの一つと同じと考えることが出来る」という意味で「一種の背理法」という表現がされているということかと考えています。この考え方で間違っていることはあるでしょうか? どうかよろしくお願いします。
対偶法も背理法の一種という考え方について

あるテキストの「対偶法も背理法の一種として考えることが出来る」ということについての説明で命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。「pならばq」を背理法で証明するために「pならば q」を否定して「pかつ￢q」。証明されている「￢qならば￢p」はpではないので「pかつ￢p」となり矛盾。背理法が成立して「pならばq」は真。対偶法なら「命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。という説明があるのですがなぜこれが「対偶法も背理法の一種として考えることが出来る」ということになるのか理解できず出版社に問い合わせたところ「対偶が成り立つので、矛盾が生じ、背理法が成立する。よって、元の命題が成立する」ということのようなのですがいまいち理解が出来ません。私の考えでは、対偶法による証明法の場合、対偶が証明された時点で自動的に命題は真である、と考えますが対偶をつかって背理法によって命題が真であることを証明できるので対偶が証明されたあと、自動的に命題が真であるということではなく背理法によって命題が真であると言っているということが出来るので対偶による証明法も一種の背理法と考えることができるということだと思ったのですが、出版社の説明と私の考えはどのあたりが違うのでしょうか？私はあまり数学が得意ではなく、これも数Iのレベルのものなのでそんな私でも理解できるように説明していただけると助かります。よろしくお願いします。この質問とは違うのですが、これら関する質問を以前ここでさせてもらい、参考にさせてもらいました。その時回答をしてくださった方ありがとうございました。
対偶を証明する目的

命題を証明するとき、もとの命題ではなく、対偶を証明するときはありますよね。例えば３の倍数の２乗は３の倍数になる。これの証明をしているものは、これの対偶を証明しています。でも、別にそのままでも証明できますよね。この問題では、もとの命題のまま証明するとダメなのでしょうか？回答よろしくお願いします。
命題の証明。

参考書を開いたりなどしたのですが、中々理解することが出来ません。以下の問題の解説をしていただけないでしょうか、、 (1) ｜ｘ-1｜＞2　または　｜y-2｜＞3　ならば、 9x^2 + 4y^2 - 18x - 16y > 11 が真であることを証明せよ。 (2) (1)の命題の逆、裏、対偶をつくり、それらの真偽を理由をつけて述べよ・申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。
x>0 またはy>0 の図示

こんにちは。命題x+y>0 ならばx>0またはy>0の証明ですが，対偶をとり x<=0かつy<=0ならばx+y<=0は明らかに真なので，対偶が真であるので元の命題の真である。なんですが、グラフで考えたときに、問題の命題のx+y>0はy>-xで描けますが x>0またはy>0ってどこなんでしょうか。
数学Ａ　対偶と背理法

命題が真であることを証明するのに、どういう場合に対偶を用いて証明し、どういう場合に背理法を用いて証明すればいいのか分かりません。どなたか、教えてください。
集合と論証

教えてください。 1. nが自然数のとき、命題「n2乗は偶数→nは偶数」が真であることを証明する。次の問いに答えなさい。 (1)この対偶をつくりなさい。対偶「 → 」 (2)(1)でつくった対偶を利用して、もとの命題が真であることを証明しなさい。［証明］nを正の( )とすると、mを( )として n＝ ( )と表すことができる。このときn2乗＝( )2乗＝( )＝2( )＋1 ( )は( )であるから、n2乗は( )である。したがって( )が( )であることが( )されたので、もとの命題も( )である。 2. √2-1が無理数であることを√2が無理数であることを用いて、背理法で証明しなさい。［証明］√2-1が( )ではないと仮定する。このとき√2-1は( )である。 a＝ ( )としてこの式を変形すると√2＝( ) となる。ここでa,1はともに( )であるから ( )も( )である。よって√2も( )となり √2が( )であることに( )する。したがって√2-1は ( )ではないとした仮定が( )であり√2-1は( )であることが証明された。
命題

次の問題を教えていただきたいのですが。次の命題の逆、真偽、対偶を作りそれぞれの真偽を示せ。 χ＞０ならばχ^２＞０答えには対偶:「χ^２≦０ならばχ≦０」真の命題。と書いてありました。元の命題が真だから、元の命題と対偶の真偽は一致するので対偶も真という事は分かるのですが、具体的にいうとどういう事なのですか？「元の命題と対偶の真偽は一致する」という事からしかわからないのですか？
命題の証明

教科書の復習で、練習問題を解いてますが、解けない問題があるのでお願いします。 x,yは実数とする。対偶を考えて、次の命題を証明せよ。 x+y＞0⇒「x＞0またはy＞0」という問題で、この命題の対偶は次の命題である。 x+y≦0⇒「x≦0かつy≦0」と、ここまでは書いたのですが、ここからどうすればよいのか・・・。
背理法と対偶法について

少し長くなるのですがお願いします。私の使用している参考書に「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。命題p→qが真であることをいうために￢q(qでない)と仮定して￢pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。でも￢qならば￢pとは文字通り、これは対偶のことでこの対偶が真といえたから自動的に命題が真といってもいい」と書かれていてこの部分の意味がわからなかったので出版社に問い合わせました。すると、このような回答を頂きました。 -------------------------------------------------------------------- 背理法は、「ｐという前提条件下で、結論のｑを否定して、￢ｑと仮定すると、矛盾が生じる。よって、ｐ⇒ｑ」とする論法ですね。対偶法において、この矛盾に相当するものが、「￢ｐかつｐ」という矛盾です。なぜなら、￢ｑ⇒￢ｐを示すのが対偶法だからです。つまり、対偶：￢ｑ⇒￢ｐが示されれば、この時点で「￢ｐかつｐ」という矛盾が生まれ、背理法が成立したことになります。 -------------------------------------------------------------------- 私は以前、この事に関する質問をここでして回答をいただいたのですがその時に頂いた回答をもとに考えたのがこの考え方です。 ---------------------------------------------------------------------- 「pならばq」を証明しようとしていて「pならばq」に背理法を使って「pであって￢q」と仮定する。その過程で「対偶　￢qならば￢p」が証明できたとする。「pであって￢q」と仮定しているのに対偶　￢qならば￢p　なので　pではないため矛盾する。　よって「pならばq」は真である。命題の対偶が証明された場合、普通は自動的に命題が真であると考えますがこの説明文では「命題の対偶が証明されたあと、背理法を使って命題が真であることを証明することになるので対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る」ということが書かれている。 -------------------------------------------------------------------------- 出版社から頂いた回答と、この自分の考えが　合っているのか自信がもてません。出版社にはこの事以外にも色々質問していて、何度もメールしづらいのでここで質問させてもらいました。よろしくお願いします。　
命題 n^2が偶数ならば、nは偶数である

nは整数とします　この命題が真であることを対偶と背理方を使わずに証明せよ命題 n^2が偶数ならば、nは偶数であるどなたかご教授願います
「逆は必ずしも真ならず」の証明ってできますか？

ある命題「PならばQ」とその対偶「QでないならばPでない」は、真偽が合致することの証明法は、ド・モルガンの法則を使えば証明できるといわれています。では、ある命題「PならばQ」とその逆「QならばP」は、真偽は合致する場合もあればしない場合もありますが、「命題が正しくても逆が正しいとは限らないこと」は、証明可能でしょうか？
対偶を用いた証明です

対偶を用いた証明です自然数a、b、cがa^2+b^2=c^2を満たすとき、a、bのうち少なくとも1つは3の倍数であるという問題なのですが、解答が次の通りで全く理解出来ませんでした(;_;)… aが3の倍数でないとき実数Ｋを用いてあらわすと a^2=3k+1 bも同様にして実数ｍを用いてあらわすと b^2=3m+1 a^2b^2=3k+1+3m+1 　　　=3(k+m)+2 k+mは実数であるので c^2を3でわったあまりは 0または1であるので a^2b^2≠c^2 対偶が真であるので命題も真であるなのです、、私にはさっぱりでしたどなたか解説お願いします！
命題の証明

ｘ、ｙがともに正の数であり、x^2+y^2≧4⇒x≧√2またはｙ≧√2 であることを、対偶を使わずに、この命題が真であることを証明するには、どうしたらよいですか？いろいろ考えたのですが、x^2+y^2≧4は、(x+√2)(x-√2)+(y+√2)(y-√2)≧０でることを利用するのかな・・・、さらにx≧√2またはｙ≧√2が、思うように理解できないのでうまく進みません。「または」これが意味することは、少なくとも片方がみたいな感じだったと思うんですが、よく理解できません。いつもいつもすいませんがよろしくお願いいたします。すいません。
高１数学　命題の証明

「整数ａの平方ａの2乗が３の倍数ならば、ａは３の倍数であることを証明せよ。」という問題が教科書に載ってたんですが解答をみると、この命題の対偶を使って証明しています。この証明を対偶を使わずに証明するとどうなりますか？疑問に思ったので分かる方いましたら、教えてください☆

証明してください

みんなの回答

関連するQ&A

対偶を示して証明する背理法について

対偶による証明法と背理法による証明について

背理法による証明と対偶による証明法について

論理と集合

対偶法による無理数の証明について教えて下さい。

背理法と対偶法の関係について

対偶法も背理法の一種という考え方について

対偶を証明する目的

命題の証明。

x>0 またはy>0 の図示

数学Ａ　対偶と背理法

集合と論証

命題

命題の証明

背理法と対偶法について

命題 n^2が偶数ならば、nは偶数である

「逆は必ずしも真ならず」の証明ってできますか？

対偶を用いた証明です

命題の証明

高１数学　命題の証明

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

証明してください

みんなの回答

関連するQ&A

対偶を示して証明する背理法について

対偶による証明法と背理法による証明について

背理法による証明と対偶による証明法について

論理と集合

対偶法による無理数の証明について教えて下さい。

背理法と対偶法の関係について

対偶法も背理法の一種という考え方について

対偶を証明する目的

命題の証明。

x>0 またはy>0 の図示

数学Ａ 対偶と背理法

集合と論証

命題

命題の証明

背理法と対偶法について

命題 n^2が偶数ならば、nは偶数である

「逆は必ずしも真ならず」の証明ってできますか？

対偶を用いた証明です

命題の証明

高１数学 命題の証明

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

数学Ａ　対偶と背理法

高１数学　命題の証明

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録