３点を通る円弧

質問

円の方程式を
　X^2＋Y^2+aX+bY+c=0 ( ^2は2乗　a,b,cはそれぞれ任意の数字）
として3点の座標（X1,Y1)，(X2,Y2)，(X3,Y3)を通る時、

(X1)^2+(Y1)^2+a(X1)+b(Y1)+c=0…(1)
(X2)^2+(Y2)^2+a(X2)+b(Y2)+c=0…(2)
(X3)^2+(Y3)^2+a(X3)+b(Y3)+c=0…(3)

この連立方程式を解いて、a,b,cの値を求める式を教えて下さい。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

(1), (2), (3) を変形すると，三元一次連立方程式，

a(X1)＋b(Y1)＋c＝－(X1)^2－(Y1)^2　　 …(4)
a(X2)＋b(Y2)＋c＝－(X2)^2－(Y2)^2　　 …(5)
a(X3)＋b(Y3)＋c＝－(X3)^2－(Y3)^2　　 …(6)

となります．解を行列式で示しておきます．
表示が簡単なので・・・．

｜ X1　　Y1　　1　｜
｜ X2　　Y2　　1　｜＝ Δ
｜ X3　　Y3　　1　｜

｜ －(X1)^2－(Y1)^2　　Y1　　1　｜
｜ －(X2)^2－(Y2)^2　　Y2　　1　｜＝ (Δa)
｜ －(X3)^2－(Y3)^2　　Y3　　1　｜

｜ X1　　－(X1)^2－(Y1)^2　　1　｜
｜ X2　　－(X2)^2－(Y2)^2　　1　｜＝ (Δb)
｜ X3　　－(X3)^2－(Y3)^2　　1　｜

｜ X1　　Y1　　－(X1)^2－(Y1)^2　｜
｜ X2　　Y2　　－(X2)^2－(Y2)^2　｜＝ (Δc)
｜ X3　　Y3　　－(X3)^2－(Y3)^2　｜

これらの行列式， Δ，(Δa)，(Δb)，(Δc) により， a, b, c は，

a＝(Δa)/Δ

b＝(Δb)/Δ

c＝(Δc)/Δ

となります．
なお，行列式の計算式は，数学関係の公式集や辞典に載っています．

回答No.4

inara1

Web上で数式処理できるサイトがあります。ご質問の連立方程式の解a, b, c はここ（http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%28x1%5E2%2By1%5E2%2Ba*x1%2Bb*y1%2Bc%3D0%2Cx2%5E2%2By2%5E2%2Ba*x2%2Bb*y2%2Bc%3D0%2Cx3%5E2%2By3%5E2%2Ba*x3%2Bb*y3%2Bc%3D0%29%2C%28a%2Cb%2Cc%29%29）のようになります。3点の座標によって解は10通りあります。

回答No.3

178-tall

>a, b, c に関する一次連立式ですね。

三式から c を消去してしまい、二式でとくのが簡単。

回答No.1

178-tall

与式を変形すると、

　-{a(X1)+b(Y1)+c} = (X1)^2+(Y1)^2 …(1)
　-{a(X2)+b(Y2)+c} = (X2)^2+(Y2)^2 …(2)
　-{a(X3)+b(Y3)+c} = (X3)^2+(Y3)^2 …(3)

(X1, Y1) ～ (X3, Y3) が所与なのでしょうから、a, b, c に関する一次連立式ですね。