極座標による曲線の長さ

質問

r=cos^2θ(0≦θ≦π/2)

この問題の曲線の長さを求めよという問題が解けませんでした

ちなみに答えは1+(√3/6)log(2+√3)でした

自分の出した解答と全く違ってどうしようもないです

途中式を含めた解き方を教えてください。お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

r=cos^2θ(0≦θ≦π/2)より
x=rcosθ=(cosθ)^3,y=rsinθ=sinθ(cosθ)^2=sinθ-(sinθ)^3
dx/dθ=-3sinθ(cosθ)^2, dy/dθ=cosθ-3cosθ(sinθ)^2
√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}=√{4(cosθ)^2-3(cosθ)^4}
=cosθ√{4-3(cosθ)^2}=cosθ√{1+3(sinθ)^2}
であるから
L=∫[0,π/2]√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
=∫[0,π/2] cosθ√{1+3(sinθ)^2}dθ
sinθ=t/√3で変数変換すると
cosθdθ=dt/√3, 積分範囲θ:[0→π/2]のとき t:[0→√3]
より
L=∫[0,√3] √{1+t^2}dt/√3
=(1/√3)∫[0,√3] √{1+t^2}dt
t=sinh(u)で変数変換すると
　√{1+t^2}dt=√{1+(sinh(u))^2}cosh(u)du=(cosh(u))^2 du
　積分範囲t:[0→√3]のときu:[0→arcsinh√3]
より
L=(1/√3)∫[0,arcsinh√3] (cosh(u))^2 du
=(1/√3)(1/2)∫[0,arcsinh√3] {cosh(2u)+1} du
=(1/(2√3))[(1/2)sinh(2u)+u][0,arcsinh√3]
=(1/(2√3))[sinh(u)cosh(u)+u][0,arcsinh√3]
=(1/(2√3))[√3cosh(arcsinh(√3))+arcsinh(√3)]
=(1/(2√3))[2√3+arcsinh(√3)]
=1+(√3/6)arcsinh(√3)
公式arcsinh(y)=log(y+√(1+y^2)より
=1+(√3/6)log(2+√3)

参考URL：

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/hyper1.pdf

回答No.2

Ae610

極座標表示による曲線の長さを求める式∫[0,π/2]{√(r^2＋(dr/dθ)^2)}dθを使う。
sinθ = tとでも置いてみる・・・！

補足

sinθ=tとして式を作ってから止まってしまいました

回答No.1

Tacosan

あなたはどう計算してどんな答えになったの?

補足

公式から
∫[0→π/2]cosθ√(1+3sin^2θ)dθ
sinθ=tとして
∫[0→1]√(1+3t^2)

ここから進まなくなってしまいました