数学の証明を教えてください。

質問

以下の証明を教えてください。
「aとbの最小公倍数が1ならば、a-bとa+bの最小公倍数は1または2である。」

回答No.4

funoe · ベストアンサー

そりゃ、最小公倍数じゃなくて最大公約数ではないだろうか。
問題と投稿内容は良く見るが吉。

ａ＋ｂ　と　ａ－ｂ　が　共通の素因数ｐをもつとしましょう。
つまり、ａ＋ｂはｐの倍数、ａ－ｂもｐの倍数です。

ａとｂをｐで割った余りをそれぞれｉ，ｊとすると、
ａ＝ｎｐ＋ｉ
ｂ＝ｍｐ＋ｊ　と書けます。ｍ，ｎは整数、ｉ，ｊは0以上ｐ未満の整数です。

ａ＋ｂがｐの倍数ってことは、
ａ＋ｂ＝ｎｐ＋ｍｐ＋ｉ＋ｊ＝（ｍ＋ｎ）ｐ＋（ｉ＋ｊ）がｐの倍数ってことでｉ＋ｊがｐの倍数です。
同様にａ－ｂがｐの倍数ってことは、
ａ－ｂ＝ｎｐ－ｍｐ＋ｉ－ｊ＝（ｍ－ｎ）ｐ＋（ｉ－ｊ）がｐの倍数ってことでｉ－ｊがｐの倍数です。

ｉ－ｊがｐの倍数ってことは、つまりｉ－ｊ＝０、ｉ＝ｊでなきゃいけません。
ここで、ｉ＋ｊがｐの倍数ってことは、ｉ＝ｊだから２＊ｉがｐの倍数です。

２＊ｉ＝０　のとき、ｉ＝０となって、ｊ＝０。このとき、ａもｂもｐの倍数になって
「ａとｂの最大公約数が１」っていう題意に反するのでこれはＮＧ。

２＊ｉ＝ｐのとき、ｉ＝ｐ／２、ｊ＝ｐ／２となります。ｉ，ｊは整数なのでこのときｐは２。

当然だけど、２＊ｉ＝ｙｐ　（ｙは２以上の整数）にはならない（ｉはｐ未満）ので、

以上から、

ａ＋ｂ　と　ａ－ｂ　が　共通の素因数ｐをもつなら、ｐは２。

（共通の素因数を持たないことがある、すなわち最大公約数が１になることもあることを示した
方が親切かもしれないけど、出題への回答としては以上をもって）

「aとbの最大公約数が1ならば、a-bとa+bの最大公約数は1または2である。」

お礼

打ち間違いでした。
すみません。
そこも考慮して頂いて、回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.3

Tacosan

そしてそのどっちであっても「a-bとa+bの最小公倍数は1または2である」とはならないんですよね＞#2.

回答No.2

koko_u_u

最小公倍数が 1 ということは、a 、 b は 1 (もしくは -1) になるしかないのでは？

回答No.1

eudox

ヒント。

わかってるかもしれんが…
a+b=1

だから…後はいもづるさ