和訳をお願いします。

質問

以下の文の和訳をお願いします。
特に、weightやweighやpanのこの文での訳が分かりません。
よろしくお願いします。
証明もできたら教えて頂きたいです。

Show that using only the standard weights 1, 2, 2^2, ..., 2^n, one can weigh any integral weight less than 2^(n+1) by putting the unknown weight on one pan of the balance and a suitable combination of standard weights on the other pan.

回答No.3

SPS700

＃１です。補足です。

　　　　４人のアメリカ人に聞きました。(１)七年生、（２）高校１年生、（３）大学卒業生（数学専攻）、（４）大学教授（数学）です。

　　　　（１） は分からない。後は３人とも問題がおかしいと言います。（４）からのメール全文を挙げ、最初の文を訳します。

＞＞I agree it is not well stated!! 「正しく表現されていないと言う意見に賛成する」

"Show that using only the standard weights 1, 2, 2^2, ..., 2^n,
one can weigh any integral weight less than 2^(n+1) by putting
the unknown weight on one pan of the balance and a suitable
combination of standard weights on the other pan."

If you can have all of these weights you want, say, lots of 1's, you could easily weigh anything (1+1+1+1......)!!!!

or,
1=1
2=2
3=1+2
4=2^2
5=2^2+1
6=2^2+2
7=2^2+2+1
8=2^3
9=2^3+1
10=2^3+2
11=2^3+2+1
12=2^3+2^2
13=2^3+2^2+1
14=2^3+2^2+2
15=2^3+2^2+2+1
16=2^4

Any # = 2^n to start with, where 2^n is the largest power of 2 contained in the #.(n, the largest power in it). Then, adding 2^(n-1), 2^(n-2),,,,,,,,,,2^2,2^1=2,2^0=1, combinations will give as seen every number from 2^n up to 2^(n+1)-1. ALL made with sums of powers of 2!!!!

お礼

たしかに１を無限に足していけば、証明できそうですよね。
2^nを使わなくても、、、

いろいろ調べて頂きありがとうございました。
また何かあればよろしくお願いします。

回答No.2

SPS700

＃１です。訂正です。僕の全文では、重さ１の物が計れないので、下記のように訂正します。

　　　　　　証明は、偶数の重さは、２のn乗で計れ、奇数は、それに重さ１の錘りを加えれば、計れます。
　　　　偶数＋奇数＝整数　ですから Q.E.D.

お礼

回答ありがとうございます。
訳の方は分かりました。

証明の方なのですが、2^(n+1)以下の整数は1,2,...,2^nの組合せですべて表せるということを示せばいいということですか？
その場合、一般に示すにはどうしたらいいんでしょうか？
帰納法でしょうか？

回答No.1

SPS700

これは天秤型のはかりの、いっぽうの皿（＝ pan)(A側とします）に重さが分からない何かを載せ、もう一方の皿(B　側）に、重量の分かっている錘り(= weight)を載せて、その均衡した時点で、A の重さを計る(= weigh)問題です。

　　標準の1, 2, 2^2, ..., 2^n　の（重さ、単位は書いてありませんがグラムでもポンドでも構わないはず）錘りだけを使って、 2^(n+1)以下の、どのような整数の重さでも、天秤の片方の皿に載せ、もう一方の皿に標準の錘りを適宜組み合わせる事によって、重さが計られる事を証明しなさい。

　　　　証明は、偶数の重さは、２の（n＋１）乗で計れ、奇数はそれに重さ１の錘りを加えれば、計れます。
　　　　偶数＋奇数＝整数　ですから Q.E.D.