ロト宝くじ（のようなもの）の確率問題

質問

厳密には違いますが、ロト宝くじのようなゲームの確率問題についてお教え下さい。

1～43の数字の中から好きな数字を重複なしで6個選びます。
その後同じく1～43の数字の中からn個の当選番号が選ばれます。
ただしロト宝くじと違いここで選ばれるn個の番号は重複する場合があります。
（n個の当選番号全てが「1」となる可能性がある、ということです）
最初に選んだ6個の数字がいくつ当たったかによって1等、2等、と決まっていきます。

この場合1等（6個全て当たり）から7等（6個全てハズレ）の、それぞれの確率はどのように出せばいいのでしょうか？

なおn >= 6として想定して下さい。

回答No.5

20080715 · ベストアンサー

＞この場合1等（6個全て当たり）から7等（6個全てハズレ）の、それぞれの確率はどのように出せばいいのでしょうか？

M等が当たる確率を P(M) と書くことにします。(M=1,2,3,4,5,6,7)
P(M)を求める計算式は次のようになります。

P(M)=(1/(43)^n)*comb(6,7-M)Σ[k=0～7-M]comb(7-M,k)*((-1)^(7-M-k))*(37+k)^n.

この計算式を使ってP(1),P(2), …,P(7) を計算すると、

P(1)=(1/(43)^n)*(37^n-6*38^n+15*39^n-20*40^n+15*41^n-6*42^n+43^n),
P(2)=(6/(43)^n)*(-37^n+5*38^n-10*39^n+10*40^n-5*41^n+42^n),
P(3)=(15/(43)^n)*(37^n-4*38^n+6*39^n-4*40^n+41^n),
P(4)=(20/(43)^n)*(-37^n+3*38^n-3*39^n+40^n),
P(5)=(15/(43)^n)*(37^n-2*38^n+39^n),
P(6)=(6/(43)^n)*(-37^n+38^n),
P(7)=(1/(43)^n)*(37^n).

いくつか計算例を挙げてみます。
n=6のとき、
P(1)=(1/43^6)*(37^6-6*38^6+15*39^6-20*40^6+15*41^6-6*42^6+43^6)=720/(43^6),

n=7のとき、
P(2)=(6/(43)^7)*(3932880)=(23597280)/(43^7),

n=8のとき,
P(3)=(15/(43)^8)*(3891691944)=(58375379160)/(43^8).

お礼

計算式有難うございます。

ただ確認のためnに数値を代入してP(1)～P(7)の値の和を求めてみましたところ、
nが奇数の場合は合計が1になったのですが、
nが偶数の場合は毎回違う数字になりました。
（具体例を出すと、n=20の場合P(4)は2.25という数値になってしまいました）

ただし偶数の場合nの値が大きければ大きいほど和は1に近づいていくようです。
なので恐らくもう少しで正解にたどり着けると思うのですが。。。

回答No.6

20080715

＞具体例を出すと、n=20の場合P(4)は2.25という数値になってしまいました

n=20の場合、P(4)の値は 2.25 にはなりません。

P(4)=(20/(43)^20)*(-37^20+3*38^20-3*39^20+40^20)
=(20/(43)^20)*(6277877440124631896119231406124)
=(1/(43)^20)*(125557548802492637922384628122480)
=0.2688…
となります。

これは私の推測ですが、ryonationsさんの計算は、-37^20 の計算を、
(-37)^20 というように計算してしまっているのではないでしょうか？

＞nが奇数の場合は合計が1になったのですが、
＞nが偶数の場合は毎回違う数字になりました。

nが偶数であろうと奇数であろうと、
P(1),P(2), …,P(7) の合計は常に 1 になります。
このことを実際に計算してみます。

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)

=(1/(43)^n)*(
(37^n-6*38^n+15*39^n-20*40^n+15*41^n-6*42^n+43^n)
+(6/(43)^n)*(-37^n+5*38^n-10*39^n+10*40^n-5*41^n+42^n)
+(15/(43)^n)*(37^n-4*38^n+6*39^n-4*40^n+41^n)
+(20/(43)^n)*(-37^n+3*38^n-3*39^n+40^n)
+(15/(43)^n)*(37^n-2*38^n+39^n)
+(6/(43)^n)*(-37^n+38^n)
+(1/(43)^n)*(37^n)
)

=(1/(43)^n)*(
(37^n-6*38^n+15*39^n-20*40^n+15*41^n-6*42^n+43^n)
+6*(-37^n+5*38^n-10*39^n+10*40^n-5*41^n+42^n)
+15*(37^n-4*38^n+6*39^n-4*40^n+41^n)
+20*(-37^n+3*38^n-3*39^n+40^n)
+15*(37^n-2*38^n+39^n)
+6*(-37^n+38^n)
+(37^n)
)

=(1/(43)^n)*(
(37^n)*(1-6+15-20+15-6+1)
+(38^n)*(-6+30-60+60-30+6)
+(39^n)*(15-60+90-60+15)
+(40^n)*(-20+60-60+20)
+(41^n)*(15-30+15)
+(42^n)*(-6+6)
+(43^n)*(1)
)

=(1/(43)^n)*(43^n)

=1.

私はNo.5の回答をつくるときに、計算はすべて数式処理ソフトを使って行いました。
(　DERIVE (デライブ) という名のソフトです。)
ryonationsさんは一体どのような手段で計算を行っていらっしゃるのですか？

お礼

No.5にあった数式をExcelにコピペしてnの部分を数値に書き換えて出た数値を足していました。
Excelが正しく計算してくれていなかったのですね。
合計が1になるのが分かったので納得しました。

有難うございました！

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．１，３です。　これだけ考えて寝てないんじゃないんだけどね＾＾；

ちょっと調子は悪い＾＾；

やっぱりこの問題は、そんな簡単には行かないね。

逆から考えてみると、よかった。

７等（全部外れ）って時。

６回の抽選として、

｛（４３－６）／４３｝＾６　＝　（３７／４３）＾６

だね。　外れ番号の重複は、中に含まれているから考えなくてもいいわけです。

で、６等（１個だけ当たり）を考えると、

「１」が当たったとします。今までどおり、何も一般性に影響しないから。

外れるほうから考えると、｛（４３－５）／４３｝＾５　これは何も変わらない。

で、どこか一箇所で　「１」がでるわけね。

6Ｃ1　×　6Ｃ1　×（１／４３）　が当たるほう。

二ついるんだろうな。１つは「いつでるか」、もう１つは「選んだ６個のうちのどれか」。

　＃「１」が当たった！ってするためには、「１」～「６」までの１つだからね。

でね、分かった。これで終わりじゃない。

「１」「１」　後四つは外れ。って言うのが考えられる。

　＃抽選は重複するじゃない？

これがあるから多分きつい＞＜

この抽選６個の並びだけでも、結構あるし、そのたびに数値が変わる。

簡単化して考えて見ると、５個の玉、選ぶのは２つ。

「１」「２」「３」「４」「５」

として、「１」「２」を選んでおくとします。

一個だけ当たるときは、　5Ｃ1　×　5Ｃ1　×　（１／５）＾１

　＃これは当たるほう。

外れるほうが、　

｛「１」以外が４回出る確率｝＋｛「１」が２回、それ以外３回｝

＋｛「１」が３回、それ以外２回｝＋・・・・・＋｛全部「１」｝

これだけ考えなきゃいけなさそう。。。

これはしんどいね。

これはＰＣで　数列を作って、それで該当するもの！を数える！

って方が早いね。

多分、そっちの問題だと思う。

コンプガチャの絡み見たいな気がするけど、確率は（１／４３）でしかないんだけど、

持っているもので、当たり外れが変わるんですね。

「条件付確率」で、確率に強い人を呼んでみても面白いだろうけど、

でるかどうかは、自信はない。

とりあえず、この状況じゃ、σ(・・*)は解答できなかった。ごめんなさい。

タイトルを「条件付確率で解けませんか？」

かなにかにして、もう少し全体モデルを小さくして、出してみると

確率の専門さんが、σ(・・*)の知らない手で、解いてくれるかもしれない。

ダイナミックプログラムスだよ？　って言われるかもしれない。

これは分からない。すいません、これ　とてつ　もなさそう。

　＃いけそうだったんだけどなぁ～。

重ね重ね申し訳ない。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

どうもありがとうございました！

回答No.3

B-juggler

はい、Ｎｏ．１です。　Ｎｏ．２さん感謝です＾＾；

補足の所、あくまで６回という考え方で行っていますよ。

２等は、６個のうち、１つ外れる。

「１」「２」「３」「４」「５」　が選ばれた。と考えて差し支えはないです。

　＃一般性は損なわないよ！って言う取り方をすればいい。

５つは当たるのだから、　５！　になるのは、分かると思う。

「１」「２」「３」「４」「５」この並びが、５！通りあるからね＾＾；

　＃それだけのこと。

で、当たるほうの確率は　素直に　５！　×　（１／４３）＾５

とでます。　５乗だから気をつけてね。

それで、この場合、外れるほうも考えないといけないんだけど、

Ｎｏ．１の中では、　６個のうちどこかで外れるわけだから、6Ｃ1は掛かる。

４３－５　としたんだけど、重複してもいいんだよね、抽選のほうだから。

ってことはひいてはいけない！　という気がしてるんです。

５！×（１／４３）＾５　×6Ｃ1　×（３８／４３）

これだと、重複してないんですよね・・・。

「１」が２個入っている！って言うのを考えてない。

ゴメン、これは間違い。

どうすればいいか考えているんだけど、今のところ、

ちょっと、σ(・・*)まだ寝てないのよ＾＾；

外れる確率　って、重複外れと、重複なし外れなんだと、おもう。

こうやらなきゃいけないかな？

重複のほうは、　5Ｃ1　×　6Ｃ1　×（１／４３）＾１　

重複なしは、　　6Ｃ1　×　（３８／４３）＾１

この和になるかな？

　＃同時には起こらないからね。

重複は、「１」～「５」までの５つしかないから、5Ｃ1　。

それとどこで重複するかあるから、6Ｃ1　が入って、分子は１でいいと思う。

　＃「１」が重複するのなら、「１」しかないからね。　5Ｃ1　で５通り取るから。

6Ｃ1　は　６個のうちどこで外れるか　でしかない。

違う気がするなぁ～。外れる確率が、１を超えてるもんね。

ん？　単純にあたりだけでいいのか？なんかそんな気がしてきた。

要は、５つ当たればいい。

５！　×　（１／４３）＾６　ってやればいいか？

違うね～、２等の方が当たりにくいってなんだ？

もうちょい考えさせてくれる？

ゴメン。ひょっとすると、ダイナミックプログラムス

　＃人の思考というより、モンテカルロ法なんかで解くのかもしれない。

しっくりこないね＞＜

とりあえず、ちょっと寝る＾＾；　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ひょっとして昨日から徹夜で考えていただいているのでしょうか？
本当に有難うございます！
少しお休みになってスッキリされてから再度ご検討下さい。。。

回答No.2

MagicianKuma

No1さんの言うとおり、最初に重複なしで選んだ数は1,2,3,4,5,6と固定しても一般性は損ないませんね。
そうするとね、これははずれもあるコンプガチャ問題（クーポン収集問題）と同じと考えられると思います。
1,2,3,4,5,6が当たりのガチャポン、7から43がはずれのガチャポン、これらが無数にあって、n個集めたときk種類の当たりが入っている確率を考える。
k=6が1等に対応。

回答No.1

B-juggler

ん？　選ぶほうは、重複なし？

元代数学の非常勤です。ゲーム理論も多少。

選ぶほうはどうでもいいとして。

　＃ここで一般性は損なわないから。

「１」「２」「３」「４」「５」「６」

と選択しておこう。

そしたら当選番号だね～。

これは重複があるのなら、（１／４３）＾６　になるんじゃない？

分母は減らないんだから。

これでいいとしたら、一等は全部合うわけね。

６！　通りになるかな。　どうかな？　あんまり自信ないや。

１等：　６！　×（１／４３）＾６　こうやるしかないかな。

２等は一個外れるのだから、５！×（１／４３）＾５　×　6Ｃ1　×（３８／４３）

　＃後ろが外れね。　分子は　４３－５　ね。

３等まで行けば、規則性は出るか。

４！×（１／４３）＾４　×　6Ｃ2　×　（３９／４３）＾２

ｎ＝６しか考えていないけど、ｎ＝７のとき、どうなるんだろう。

ちょっと考えさせて。　これじゃダメかもしれんね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

当たる確率も増えるけど、自動的に外れの確率も増えるね。

どうすればいいかな～。う～む。

補足

早速の御回答有り難うございます。

選ぶ方は重複なし、当選番号は重複ありで間違いないです。
なので選ぶ組み合わせは6!通り、当選番号の組み合わせは43^6通りで間違い無いと思います。

そこで1等が６！　×（１／４３）＾６となることは理解できましたが、
2等以降の計算方法が理解できませんでした。
もう少し詳しくご説明いただけますでしょうか？