数学ピラミッド面積

質問

ピラミッド（三角形が４つくついたもの）が２個あり、底辺同士合わせた格好でくっついています。上と下が尖った状態。

底辺同士が合わさった部分は四角形（たぶん正方形）ですが、その対角線が20cmです。それ以外の情報はありません。

面積の求め方は分かりますが（体積の問題ではありません）、各三角形（正三角形のようです）の底辺と高さをどのようにして求めたらいいでしょうか？

中学か高校の数学です。よろしくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

＞1辺が10√2cmである正三角形の高さは、
＞1辺×cos60°=10√2 × 1/2=5√2cm

すみません。そもそもこの計算式が間違っていましたね。
1辺が10√2cmである正三角形の高さは、
1辺×sin60°=10√2 × √3/2 =5√6cmでした。

さて、中学か高校の数学、というお話でしたので、高校で習う三角関数を使って回答しました。
まだ習ってはいなかったでしょうか。だとすると、
正三角形の1個の頂点から対辺に垂線を下ろしてみます。
そうすると、正三角形が、「30°、90°、60°」という角を持つ2つの合同な直角三角形に分割できます。
この直角三角形は、三平方の定理により3辺の比が1:2:√3であることはおわかりでしょうか。
三平方の定理をまだ習っていなければ、このあたりの議論もむずかしいかもしれませんね。

正三角形の高さをxとすると、
1辺（直角三角形の斜辺）が10√2ですので、
10√2:x=2:√3という比例式が成立します。
よって、x=10√2・√3/2=5√6cmとなります。

お礼

ご丁寧に有難うございました。よく分かりました。

回答No.1

asuncion

ピラミッドと逆さピラミッド（こういう言い方が適切かどうかはわかりませんが）とが
底面の正方形のところでくっついている図形を考えればよいでしょうか。

底面が正方形で、かつ、底面以外の三角形が正三角形であれば、
正方形の対角線が20cmである、という条件だけから各々の三角形の底辺と
高さを求めることができそうです。

正方形の対角線が20cmであることから、正方形の1辺（つまり正三角形の1辺）の長さは
20/√2=10√2cmです。
1辺が10√2cmである正三角形の高さは、
1辺×cos60°=10√2 × 1/2=5√2cm

お礼

有難うございました。「1辺が10√2cm」は分かりましたが、「1辺×cos60°=10√2 × 1/2=5√2cm」の意味がよく分かりませんでした。「×cos60」の意味と、なぜ1/2をかけるのかがよく分かりません。貴重なお時間有難うございました。