解答解説:lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt
- 質問文章の式を解くために、まずexp(t^2-x^2)を分子として扱い、exp(x^2)を分母として扱います。
- exp(t^2)の0から無限大までの積分は無限大に発散するので、ろぴたるの定理を使います。
- 定理を適用して整理すると、最終的にlim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2 となります。
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lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt (∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です) 答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか? lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt exp(x^2)はtによらないので、 =lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2) exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう =lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x =lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2 これを最初の式と比べる lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2 lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2 lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2 という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。
- nemuine8
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「これを最初の式と比べる」以降の計算は、 各 lim が収束することを根拠なく仮定している。 もう一度、ロピタルを使えば良かったのに。
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- ur2c
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> ほかに微分を使える方法があるのでしょうか? (d/dx) \int_0^x f(t) dt = f(x) ==> (d/dx) \int_0^x exp(t^2) dt = exp(x^2)
- alice_44
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- ur2c
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(d/dx) \int_0^x f(t) dt = f(x) を使えば一発.
お礼
微分するにはろぴたるの定理かなと思って、ろぴたるの定理をつかったのですが、ほかに微分を使える方法があるのでしょうか?もしくは、ろぴたるの定理の使い方が下手なのでしょうか?
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お礼
回答ありがとうございました。 もう一度ろぴたるでできました。 答えは1/2ですよね?