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ラプラス変換とフーリエ変換
ur2cの回答
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確率を扱うので、特性関数 K(t) = E[exp(itX)] http://ja.wikipedia.org/wiki/特性関数_(確率論) が Fourier 変換で、積率母関数 M(t) = K(-it) http://ja.wikipedia.org/wiki/積率母関数 を符号だけ変えたのが Laplace 変換 L(t) = M(-t) と思ってます。つまり Fourier 変換 ⇔ 特性関数 ⇒ 積率母関数 ⇔ Laplace 変換 という対応におんぶして、わかったつもりになってます。確率密度関数があれば特性関数はあるけど積率母関数はあるとは限らないという意味で、Laplace 変換の方が Fourier 変換より特殊だと思ってます。 そして Laplace 変換は微分方程式の話から Mikusinski の演算子 http://ja.wikipedia.org/wiki/演算子法 につながり、その基礎である Titchmarsh の畳み込み定理 http://en.wikipedia.org/wiki/Titchmarsh_convolution_theorem を通じて 吉田耕作「演算子法―一つの超函数論」東京大学出版会 (1982) ISBN 978-4130640657 に行き着く、という地図です。 結局「畳み込みを掛け算にする話ね」程度の乱暴な理解です。役に立つかどうか、ご参考まで。
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