- ベストアンサー
微分方程式の計算の解説をお願いします！
dy/dx=√(a^2-y^2) 前に解いた紙にy=asin(x+C)とだけ書いてあるのですが、どう求めたのかさっぱり忘れてしまって・・・。 答えまでの解説をよろしくお願いします！
- hukurousann
- お礼率39% (22/56)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
まず、与式を変形して 左辺を文字 'y' だけの式 右辺を文字 'x' だけの式にする。 1 / sqrt( a^2 - y^2 ) dy = dx ∫(1 / sqrt( a^2 - y^2 ) ) dy =∫ dx 左辺の積分はy = |a|sint ( または|a|cost ) とおいて置換積分。 Sin^-1( y / |a| ) = ±( x + C ) (Cは任意定数)となります。
その他の回答 (1)
- WiredLogic
- ベストアンサー率61% (409/661)
普通に変数分離して、∫つけて、 ∫dy/√(a^2-y^2) =∫ dx 左辺は、大学の教科書なら、不定積分の公式が載っているでしょうし、 でなくても、y=sinθとおいて、置換積分すれば…
関連するQ&A
- 微分方程式の解き方
１．y" - 2y' + y = x sinxの一般解を求めよ。 この問題で、一つの解の予想の仕方が分かりません。 ２．(y^2)*((d^2)y/d(x^2)) = (dy / dx)^3 dy/dx = p、((d^2)y/d(x^2)) = (dp / dy)p とおき、 y^2 * p *(dp /dy)= P^3 y^2 * (dp/dy) = P^2 変数分離をして 1/(p^2) dp = 1/(y^2) dy -(1/p) = -(1/y) + C 1/p = 1/y - C p = y - 1/C p=dy/dx = y + A (A = -1/Cとおく) 1/(y + A) dy = dx log|y + A| = x + B y + A =±e^(B + x) y = Ce^x - A となりましたが 答えはlog|y|=x + C1y + C2です。 間違っているところを指摘していただけるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式について
下の微分方程式について教えていただきたいです。 dy/dx = G(x, y) ただし、y = f (x)とする。 また、x = xo のとき y = yo = f (xo) 以上をふまえて dy/dx = 1/4 * y において以下の問いに答えよ。 （※1/4 * y は 四分の一 × y のことです。分かりにくくてすみません） （1） x = 0 の時のyの値 （2） x = dx の時のyの値 （3） x = 2dx の時のyの値 （１）は自分で解いてみると答えがC(定数)になってしまい、（2）（3）は解き方すら分かりませんでした。 おそらく、どれも答えは1とか2とか具体的な数字になると思います 数学は苦手なので、お教え下さるとうれしいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式つまらなさすぎる（？）悩み
(1) dy/dx=f(ax+by+c)のときax+by+c=zとおいて zに関する微分方程式を作れ。 (2) (1)を利用して、微分方程式dy/dx=x+y+1を解け。 この問題について質問があります。まず（１）についてですが、 答えが dz/dx=a+bf(z) でした。私はもっと変形できるのかと 思いずっと悩んでいました。でもこれが答えだったんです。 何をもって”微分方程式”というのでしょうか？また（１）の答えは これ以外にはあり得ないのでしょうか？例えばdxじゃなくてdy が入っていてもいいと思うし、なぜxが選択されたのか不明です。 次に（２）の解説の中で、x+y+1=zとおくと、（１）から dz/dx=1+z・・・(1) 1+z=0 は(1)の解である。・・・ となっていました。なんで1+z=0 が(1)の解になるのでしょうか？ これはすなわちdz/dx=0 ということだと思うのですが何をもって この解が導かれたのかさっぱりです。脚注にも説明はありませんでした。 またf(z)がzと表記が変わったことにも違和感を覚えます。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同次形微分方程式
下の“微分方程式を解け”という問題がわかりません。 (1) (x+y)+(x-y)(dy/dx)=0 (2) xy(dy/dx)=x^2＋y^2 この2つなんですが、一応、同次形微分方程式の範囲なので y/xの形にしてみたんですが・・・ (1) (x-y)(dy/dx)=-(x+y) (dy/dx)=-(x+y)/(x-y) 右辺の分母分子をｘで割る (dy/dx)=-(1+y/x)/(1-y/x) y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx) よって u+x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) -u x(du/dx)=-(1+u^2)/(1-u) (1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx 両辺を積分というとこの左辺のせきぶんがわかりません。 というかここまでまちがってるかもしれません。 (2) (dy/dx)xy=x^2+y^2 両辺をx^2でわる。 (dy/dx)(y/x)=1+(y/x)^2 y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)よって u+x(du/dx)=(1+u^2)/u x(du/dx)=(1+u^2)/u -u x(du/dx)=(1/u) udu=(1/x)dx 両辺を積分 (1/2)u^2=logｘ+Ｃ よって(1/2)(y/x)^2=logｘ＋Ｃ ｙ^2＝2x^2(logx＋Ｃ) となり、とりあえず答えは合いました。過程はあってますか？ あと、最終的な答えの形なんですがｙ=で答えるとかｘ=で答えるとか ってありますか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！助かりました！！