統計学に関しての質問

質問

先日出された統計学の課題です。

（１）　男子85名、女子70名からなる集団に知能検査を行い、次のような結果を得た。
「男子IQ：平均１１０　標準偏差１４　　女子IQ：平均１１２　標準偏差１６」
上記結果から、男女を一緒にした155名全体の平均と標準偏差を求めよ。

（２）学力調査の予備調査として、５校から8人の試験者を選び、検査を試みた。一様な検査と言えるのか、確認（検定）せよ。

G1 G2 G3 G4 G5
14 16 2 7 5
16 7 10 10 9
3 10 9 10 10
10 4 13 13 7
9 7 11 3 12
10 23 9 11 17
21 12 13 7 14
17 13 9 11 22

自分ではどうにも理解に苦しむので、どなたかご支援のほどよろしくお願い申し上げます。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

問題（１）に付いてです。

男子IQデータXi、データ数Nx、
女子IQデータYi、データ数Ny、とする。
全体生徒数N= Nx +Ny。

男子平均Xと女子平均Yは
X= ΣXi/Nx　　　　　 和iは1～Nx　　　　(1)
Y= Σ’Yi/Ny　　　　　和iは1～Ny　　　　(2)

(1),(2)式より
ΣXi= X*Nx、Σ’Yi=Y*Ny　　　　　　　　　　(3)

全体平均Zは
Z= (ΣXi + Σ’Yi)/N = (X*Nx + Y*Ny)/N　　　　(4)

これにデータを代入すると
Z= (110x85 + 112x70)/155 = 110.90

標準偏差を男子Xs、女子Ysとすると。
Xs^2=(Σ(X – Xi)^2)/Nx^2　　　　　　　　　　 (5)
Ys^2=(Σ’(Y – Yi)^2)/Ny^2　　　　　　　　　　(6)
和の範囲は(1),(2)と同じ。

（以下男子のみに付いて導出する。）
Xs^2=Σ(X^2 –2X Xi+Xi^2)/Nx^2
=(Nx*X^2 -2XΣXi +ΣXi^2)/Nx^2
=(Nx*X^2 -2X^2*Nx +ΣXi^2)/Nx^2
((3)の結果を使った。)
これをΣXi^2の式に書き換える。
ΣXi^2= Nx^2* Xs^2 -Nx*X^2 +2X^2*Nx 　　　　(7)
同様に女子に付いても
Σ’Yi^2= Ny^2* Ys^2 -Ny*Y^2 +2Y^2*Ny　　　　(8)

全体の標準偏差Zs
Zs^2= (Σ(Z-Xi)^2 + Σ‘(Z-Yi)^2)/N^2　　　　　　(9)
（和Σ、Σ’はYiは(1),(2)と同じ。）

Zs^2= (Σ(Z^2-2ZXi +Xi^2) + Σ’(Z^2-2ZYi +Yi^2))/N^2
=( (Nx*Z^2 –2ZΣXi +ΣXi^2) + (Ny*Z^2 –2ZΣ’Yi +Σ’Yi^2))/N^2
=((Nx +Ny)Z^2 –2Z(ΣXi +Σ’Yi) +ΣXi^2 +Σ’Yi^2)/N^2
=(N*Z^2 –2Z(X*Nx + Y*Ny)
+ Nx^2* Xs^2 -Nx*X^2 +2X^2*Nx
+ Ny^2* Ys^2 -Ny*Y^2 +2Y^2*Ny)/N^2
=(N*Z^2 –2Z(X*Nx + Y*Ny)
+ Nx^2* Xs^2 +Nx*X^2 + Ny^2* Ys^2 +Ny*Y^2)/N^2　　　(10)

これに数値を代入する。
Zs^2= (155x110.90^2-2*110.90(110x85 +112x70) + 85^2x14^2 + 85x110^2
+70^2x16^2 + 70x112^2)/155^2
= 111.1614

求める標準偏差は、Zs=10.54
検算はよろしく。

男女の分布が正規分布に従うと仮定します。さらにNx=85とNy=70はほぼ同数
と見れば、正規分布の和の分散は分散の和はとなりますからZsの近似値は
Zs=√(14^2 +16^2)/2=10.63
となります。

問題（２）に付いては５校、G1~G5、から何を選んだのか数字の意味が解りません。
書き直して再質問されるようお勧めします。

お礼

解答していただき、ありがとうございました。

丁寧な解説で大変理解しやすいものであったと思います。

今後またこのような機会があれば、ぜひお力をお借りしたいと思います。

補足

解答していただき、誠にありがとうございます。　問題２に関してですが、再度数値がはっきりする形で質問させていただきましたが、どうやら削除されてしまったようですので、この場でもう1度質問させていただきます。

問題２　学力の予備調査として、５校から8人の被験者を選抜。検査を試みた。この検査が一様な検査と言えるかどうかを確認(検定)せよ。

G1(14,16,3,10,9,10,21,17)、G2(16,7,10,4,7,23,12,13)、
G3(2,10,9,13,11,9,13,9)、G4(7,10,10,13,3,11,7,11)、G5(5,9,10,7,12,17,14,22)

御協力の程、よろしくお願いいたします。