有意な差があるか？

質問

統計のレポートの問題で悩んでいます。次のような問題です。
A高校の１年生１００名に知能検査をしました。偏差値の平均は５２．８であることがわかった。
この高校１年生の１００名の知能検査の偏差値は、全国の高校生と比較して平均的といえるか？
（両側検定）平均的といえない場合何％水準で有意といえるか。知能検査の偏差値の平均は５０、
標準偏差は１０であることがわかっている。
選択肢は
(1)A高校1年生と全国の高校生の知能の偏差値に差はない。
(2)５％水準で有意な差がある
(3)１％水準で有意な差がある。
(4)0.1％水準で有意な差がある。
わかりやすく解説していただけるとうれしいです。

回答No.1

alice_44

正規分布 N(μ,σ^2) から無作為抽出したサイズ n の標本平均は、
正規分布 N(μ,σ^2/n) に従います。

全国での成績分布が正規分布に従っていると仮定すると、
平均的な 100 名の集団の偏差値の平均は、
N(50,10^2/100) に従うことになります。

その値が実際に 52.8 であったということは、
平均より 2.8 標準偏差高い値が出たということです。
それまたはそれ以上に平均から離れた値が出る確率は、
正規分布表によれば、両側確率で 0.002555×2 です。
0.5% より少し大きいくらいでしょうか。

したがって、Ａ高校が平均的であるという仮説は、
有意水準 1% では棄却され、有意水準 0.1% では棄却されない
ことになります。
選択肢のうち、合っているものは (2)(3) です。

正規分布表：　http://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました。大変参考になりました。
また、お忙しい中お答えいただいて感謝しております。
ありがとうございました。