確率・組合せの問題です

質問

どなたか教えてください。

「１」と書かれたカードが２枚、
「２」と書かれたカードが２枚、
「４」と書かれたカードが３枚、
計７枚のカードがある。
この７枚をすべて並べて７桁の整数を作るとき、次の設問に答えなさい。

(1)つくることができる７桁の整数は何個あるか。
(2)つくることができる７桁の整数で、偶数は何個あるか。
(3)つくることができる７桁の整数で、４の倍数は何個あるか。

という問題で、
(1)(2)はそれぞれ、(1)210通り、(2)150通り、だと思うのですが、自信がありません。
(3)は全くわかりません。

(1)(2)の正誤、(3)の解き方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

「１」と書かれたカードが２枚、
「２」と書かれたカードが２枚、
「４」と書かれたカードが３枚、
計７枚のカードがある。
この７枚をすべて並べて７桁の整数を作るとき、次の設問に答えなさい。

(1)つくることができる７桁の整数は何個あるか。
(2)つくることができる７桁の整数で、偶数は何個あるか。
(3)つくることができる７桁の整数で、４の倍数は何個あるか。

という問題で、
>(1)(2)はそれぞれ、(1)210通り、(2)150通り、だと思うのですが、自信がありません。
合っていると思います。

>(1)つくることができる７桁の整数は何個あるか。
７！／２！・２！・３！＝２１０個

>(2)つくることができる７桁の整数で、偶数は何個あるか。
１の位が２のとき、１の位に２を１個おいて、残りの並び方を考えます。
６！／２！・３！＝６０通り
１の位が４のとき、同様に残りの並び方は、
６！／２！・２！・２！＝９０通り
よって、６０＋９０＝１５０個
（１の位が１のときも６０通りなので、合計２１０通りです。）

>(3)つくることができる７桁の整数で、４の倍数は何個あるか。
４の倍数であるのは、末位２桁が４の倍数のとき、
１２、２４、４４のときです。考え方は、（２）と同じように
先にこれらの数を並べて置いて、残りの並べ方を考えます。
末位２桁が１２のとき、残りの並べ方は、
５！／３！＝２０通り
末位２桁が２４のとき、残りの並べ方は、
５！／２！・２！＝３０通り
末位２桁が４４のとき、残りの並べ方は、
５！／２！・２！＝３０通り
よって、２０＋３０＋３０＝８０個
（これも末位２桁が他の６通りの場合で合計１３０通りの並べ方があるので、
合わせて２１０通りです。）、

どうでしょうか？

お礼

とてもよくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.3

asuncion

＞#2さん

＞(1)つくることができる７桁の整数は何個あるか。
＞7P7=7!=5040 2P2=2!=2 3P3=3!=6 (7P7)/(3P3)/(2P2)/(2P2)=210

全部で210個だとおっしゃっているのに、

＞(3)つくることができる７桁の整数で、４の倍数は何個あるか。
＞(7P7)-640=5040-640=4400

どうして4400個になるのでしょうか。

お礼

同じ疑問をありがとうございます。

回答No.2

moto_koukousei

当てにならないので、これでいいのか、ご自身で検証してください。
（ただの　ご参考です）

(1)つくることができる７桁の整数は何個あるか。
7P7=7!=5040 2P2=2!=2 3P3=3!=6 (7P7)/(3P3)/(2P2)/(2P2)=210

(2)つくることができる７桁の整数で、偶数は何個あるか。
1桁目が１のものが奇数、2や４は偶数。
{（1=1個、2=2個　4=3個）6個での組み合わせ｝が1を入れ替えて2ケースある。
6P6=6!=720 {(6P6)/(3P3)/(2P2)}×2=120

(3)つくることができる７桁の整数で、４の倍数は何個あるか。
100は４の倍数。下2桁が4の倍数でないケースを探す。
下2桁 その組み合わせの場合の数
11　：　{(5P5)/(3P3)/(2P2)}×1=10
14　：　{(5P5)/(2P2)/(2P2)}×2×3=180
21　：　{(5P5)/(3P3)/(2P2)}×2×2=120
22　：　{(5P5)/(3P3)/(2P2)}×1=10
41　：　{(5P5)/(2P2)/(2P2)}×2×3=180
42　：　{(5P5)/(2P2)/(2P2)}×2×3=180
以上合計　640
(7P7)-640=5040-640=4400

お礼

(3)なんですけど、これって、
(1)の答えより多くないですか？？ｗｗｗ

回答No.1

asuncion

＞(1)(2)はそれぞれ、(1)210通り、(2)150通り、だと思う

その結果を得るまでの過程を教えてください。

＞(3)の解き方

4の倍数が持っている性質は何でしょうか。

お礼

4の倍数が持っている性質・・・
うーん、難しいです。

ヒントありがとうございます。