5-8 高校数学 場合の数
nを正の整数とし、n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える ただし1個のボールも入らない箱があってもよいものとする 以下に述べる4つの場合についてそれぞれ相異なる入とれ方の総数を求めたい
(1)1からnまで異なる番号の付いたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか
(2)互いに区別の付かないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか
(3)1からnまで異なる番号の付いたn個のボールを区別の付かない3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか
(4)nが6の倍数6mであるとき、n個の互いに区別の付かないボールを区別の付かない3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか
(解説) (1)3^n (2)A,B,Cにそれぞれa,b,c個入るとしてa+b+c=n(a>=0,b>=0,c>=0)(1)
をみたす整数解(a,b,c)の個数を求めればよいが、(1)は(a+1)+(b+1)+(c+1)=n+3 (a+1>=1,b+1>=1,c+1>=1)
と同値であることに着目して[n+2]C[2]=(n^2+3n+2)/2通り
(3)求める場合の数を次のように3分割する
nことも1箱だけに入れるもの...x通り
n個を2箱に分散して入れるもの...y通り
n個を3箱に分散して入れるもの...z通り
これらx,y,zと(1)との関係を考えると、まずx=1であり(1)ではこれを3通りと数えy通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えz通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えている したがってx×3+(y+z)×6=3^n(x=1)
よって求める場合の数x+y+zは1+y+z=1+(3^n-1×3)/6=(3^(n-1)+1)/2通り
(4)3箱のボールの個数をa,b,c(a<=b<=c)とし(3)と同様に求める場合の数を次のように3分割する
a=b=cをみたすもの...p通り
a=b<c or a<b=cをみたすもの...q通り
a<b<cをみたすもの...r通り すると(2)の場合の数はp+3q+6r通りと数えられるから
p+3q+6r=(n^2+3n+2)/2(2)
ここでp=1であり、またq通りは(0,0,6m)(1,1,6m-2)....(3m,3m,0)の3m+1通りから(2m,2m,2m)の1通りを除いてq=3mである、よって(2)から
r=1/6×{1/2×(36m^2+18m+2)-(1+3×3m)}=3m^2 以上により答えはp+q+r=3m^2+3m+1通り
の
(3)のx,y,zが(1)で1や3!通りずつという所と
x×3+(y+z)×6=3^n の所が何を意味しているのか分かりません
(4)の解説で(2)の場合の数がp+3q+6rの所とr=1/6{}=3m^2
以上によりp+q+r=3m^2+3m+1通りというのが何でなのか分かりません
を質問したら
(3)
n個とも1箱だけにいれるもの・・・ｘ通り
これが(1)の数え方なら3通りあり、(3)の形では1通り
n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り
n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り
yとzの数は同じ考え方で計算できるという意味で同じです。
例(6,2,1)(6,1,2)(1,6,2)(1,2,6)(2,6,1)(2,1,6)
は全て同じものとして考えられますが、同様にして
(6,3,0)(6,0,3)(0,6,3)(0,3,6)(3,6,0)(3,0,6)
となりこの両者は同じものです。この両者は同じですから分けて考えるのではなく、同じものとして(y+z)を求めた方が楽
xとy,zの違いは一番多く入った箱以外の二つの箱を区別するかどうかだけです。
便宜的に箱をABCと名前をつけると、(1)の結果から3^n通あり
ここからどれか一つの箱にだけ入っている場合の3通りを引くと(3^n-3)になります。この箱の名前を付け替えるとすればA→3通り、B→2通り、Cは残り、と3!通りあるはずです。
したがって、x+y+z = 1 + (3^n-3)÷3!
(4)
まずa=b=c の時は1通りしかないのは問題ないでしょう。このとき、a=b=c=2mです。次にa=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り
ですが、a=bのとき、a<cなのでaは0から2m-1までの2m通り、同様にb=cのときはbは2m+1から3mまでのm通りあるはずです。
a<b<cをみたすもの・・r通り
a<b<cから、aは0～2m-1までの2m通りあるはずです。aとbが決まればcも決まるという関係上、aとbだけを考えればよいです
ここでaが奇数のときはm通りあり
a=2m-1の時、b+c=4m+1からbは2mの1通り
a=2m-3の時、b+c=4m+3からbは2m-2～2m+1の4通り
・・・
a=1の時、b+c=6m-1からbは2～3m-1の(3m-2)通り
よりΣ(3m-2)=3m(m+1)/2-2m通り
偶数のときも同様にm通りあり、（b=cとなるときを除外しなければならないのに注意）
a=2m-2の時、b+c=4m+2からbは2m-1～2mの2通り
a=2m-4の時、b+c=4m+4からbは2m-3～2m+1の5通り
・・・
a=0の時、b+c=6mからbは1～3m-1の(3m-1)通り
よりΣ(3m-1)=3m(m+1)/2-m通り
よって
3m(m+1)/2-2m + 3m(m+1)/2-m
と回答して下さったのですが
(3)でyとzが同じとあるのですが例えばn=6の時
箱が空の時(3,3,0),(3,0,3),(0,3,3)とあり箱に入る球がすべて違うとき(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)となり異なるのではないですか？同じと言うのが何故同じなのか分かりません 仮に(y+z)を求めるとして、
(3^n-3)になるのも分からないです
(4)は偶数と奇数で分ける所ですが偶数だとb=cの場合があるから分ける必要があるとあるのですがb=cになると何故駄目なのでしょうか？
お礼
ヒントありがとうございます。 （１）は容易でしたが、（２）が面倒でした。