高校二年ベクトルの問題です

質問

高校二年生です。
ベクトルの問題がまったく解けません。
解き方と解答までの途中式を教えていただきたいです。
その問題は以下の通りです。
ベクトルOA=(1,-2),ベクトルOB=(3,5)に対してベクトルOC=kベクトルOA＋(1＋k)ベクトルOBとする。次の問題に答えよ。
(1)ベクトルOAとベクトルOCが垂直になるようなkの値を求めよ。
(2)(1)のとき、三角形OACの面積を求めよ。

→をOA等の上に書けないのでベクトルと書きました。見づらくて申し訳ありません。
解けなくて困っています。よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion

(1)
OC=k(1,-2)+(1+k)(3,5)
=(k+3+3k,-2k+5+5k)
=(4k+3,3k+5)

これが(1,-2)と直交するので、内積=0
(4k+3)-2(3k+5)=0
より、
k=-7/2

(2)
前項より、OC=(-11,-11/2)
OA⊥OCより、△OACは直角三角形
△OACの面積
=(OAの長さ)×(OCの長さ)/2
=(√(1+4))×(√(121+(121/4)))/2
=√5×(11√5/2)/2
=55/4

ということでしょうか。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

OC は提示された式を整理すれば OC = (3+4k, 5+3k)

これと OA との内積は OA・OC=1(3+4k)-2(5+3k)=-2k-7

OAとOCが垂直なら内積は 0 になるので k = -7/2 = -3.5

なので OC = (-11, -5.5)

三角形 OACの面積は OAとOC が垂直なので, OA, OC の
長さを掛けて２で割れば良いので

√(2^2+(-1)^2)√((-11)^2+(-5.5)^2)/2 = 13.75

高2では範囲外かもしれませんが、「外積」の絶対値の半分を求めることでも
３角形の面積を求めることができます。

この場合、ベクトルが垂直である必要も無く、計算もずっと簡単なので、
私ならこっちで計算します。

２次元ベクトル(a, b), (c, d) の外積の絶対値は
|ad - bc|
なので、外積の絶対値 = | 1 x (-5.5) - (-2) X (-11) | = 27.5
面積=27.5/2=13.75

回答No.1

info22_

(1)
↑OA=(1,-2),↑OB=(3,5)
↑OC=k(1,-2)+(1+k)(3,5)=(3+4k,5+3k)
↑OA⊥↑OCの為の条件は
内積↑OA・↑OC=0
↑OA・↑OC=(1,-2)・(3+4k,5+3k)=3+4k-2(5+3k)=-7-2k=0
　∴k=-7/2

(2)
k=-7/2の時
↑OC=(3-28/2,5-21/2)=(-11,-11/2)
∠AOC=90°、OC=11(√5)/2、OA=√5より
△OAC=OA*OC/2=55/4