フーリエ係数の求め方を教えてください。

質問

本屋にいってもさらに抽象化して直交関数で展開している場合と、
１次元のことしか書いていない本しかなく、困っています。
以下のことについて教えてください。

（Ｑ１）
フーリエ級数の定義は以下の内容でいいですか？

F(x,y,z)
={\sum}^{∞}_{m1=-∞,m2=-∞,m3=-∞}[A(m1,m2,m3)*exp(<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]

要は、

[A(m1,m2,m3)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]

を全てのm1,m2,m3にわたって和した級数で、<|>はEuclid内積、*はスカラー積,iは虚数単位

但し、簡単のためFが3変数実数値（複素数値でもいい？）とし、A(m1,m2,m3)は、
それぞれ複素定数、その他G（波数）やT（周期）等の個々の記号詳細な定義は、
以下に記載の通り

（Ｑ２）
A(m1,m2,m3)の計算法は、以下の内容でいいですか？

A(m1,m2,m3)={\int}_{V}[F(x,y,z)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>]dxdydz

但し、Vは、以下の定義式で定まる領域

V={s1*{T}_{1}+s2*{T}_{2}+s3*{T}_{3}|0≦s1≦1,0≦s2≦1,0≦s3≦1}

であり、要は、

F(x,y,z)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)を

V（ユニットセル）上で３重積分したもの。

（Ｑ３）
F(x,y,z)が二乗可積分で、{T}_{1}, {T}_{2},{T}_{3}がFの周期であるとき、
Fは、フーリエ級数展開可能ですか？

注)少なくとも、
K=(k1,k2,k3)と、L=({l}_{1},{l}_{2},{l}_[3})が、
<K|L>=2zπ (zは実数)であるとき、

Lは　exp i(K*X)の周期であるので、右辺が、周期T(m1,m2,m3)を持つことは
確認したつもりなので、この逆が成り立ちますか？

（Ｑ４）
どうも周期には２つの種類があるような気がします。片方を
普通の周期、もう片方を半自明な周期とでも呼ぶことにします。即ち、

　　*半自明な周期：
　　　TがFの周期であり、かつ、任意の”実数”λに対して、λTもFの周期である。

　　*普通の周期：
TがFの周期であり、かつ任意の整数zに対してzTが周期であり、かつ、Tは半自明な周期でない。

上記は勝手に定義しただけですが（まともな言い方があったら教えてください）、

例えば、ベクトルa=(a1,a2,a3)に対し、

<a|K>=0　⇒　aは、exp i(K*X)の半自明な周期
<a|K>\neq 0⇒　(\frac{2\pi a}{|a|} は、普通の周期

となります。

さて、例えば、{T}_{1}, {T}_{2},{T}_{3}のうち{T}_{3}のみが上の意味で半自明だと
とします。このとき、

F(x,y,z)
={\sum}^{∞}_{m1=-∞,m2=-∞}[A(m1,m2)*exp(<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]

のように、縮減できませんか？

【記号の詳細な定義】
但し、関数

F(x1,x2,x3,...,xn)

は、実数値関数又は複素数値関数で、実n変数関数とする。

また、
GとTはn次実正方行列で、（ベクトル積を使うのが面倒なので）

G=(gij)
T=(tij)

は、

G*T=2πE (但し、Eは単位行列)で、

をみたすとする。(gij)等ダブルサフィックスと考える

Tj=(t1j,t2j,t3j,...,tnj)：行列Tの第j列ベクトル
Gi=(gi1,gi2,gi3,...,gin)：行列Gの第i行ベクトル

また、但し、{m}_{1},...,{m}_{k}は、いずれも整数。

T({m}_{1},...,{m}_{k})=Σ{m}_{k}{T}_{k}
G({m}_{1},...,{m}_{k})=Σ{m}_{k}{T}_{k}

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1へのコメントについてです。

> F:R^3→R

　これは了解しています。（R^3→Cと思っておく方が何かと便利だと思いますが。）

> T1,T2,T3：R^3の基底で、Ｔｊは、すべてFの周期

　縮退していない一次変換で、直交基底とは限らないと。で、Gはその逆変換の2π倍である。つまり斜交座標系を考えていらっしゃる。だから、「すべてFの周期」というのは、単位胞が平行六面体になってるという意味でしょう。了解しています。

> A(m1,m2,m3)とか、G(m1,m2,m3)の(m1,m2,m3)は、単なる添え字です。

　もちろんです。それぞれ、基底ベクトルの方向についての周波数を表しているんですよね？

> 全てのm1,m2,m3で和す

　仰る所の「周期格子が正方格子ではない周期」というのは、一次変換で単なる正方格子に連続的に写像できる訳です。（これは、斜交座標(x1,y1,z1)を直交座標(x1,y1,z1)と読み替えられるように変換する、というだけのことですね。）
　ならば、その処理をした上でフーリエ級数展開すりゃ済むのでは？というのがANo.1の前半部分の話です。すなわち、単位胞が直方体になるように変換してしまえば、何次元だろうと1次元の展開を繰り返すことで表現できますから、各成分についてそれぞれ1次元で考えれば十分なのです。言い換えれば、簡単なことを無用に複雑にしていらっしゃる。

> T1=(1,√3/2)
> T2=(0,1)

> がFの周期だった場合、


「Fの周期」という言い方はあんまりしないと思いますが、{T1x+T2y | 0≦x＜2π, 0≦y＜2π} が単位胞(ユニットセル)だということでしょう。

> この場合、H1とH2が張る平行四辺形上での

> F*exp (i<K|X>>の積分と、T1,T2が張る空間上でのF*exp (i<K|X>>

> は一致すると言い切れるのでしょうかということが気に
> なります。


　基底のスケールを整数倍にするだけのことです。まずは１次元でやってみて下さい。ごく簡単な計算で、（定数倍を除いて）「言い切れる」と分かるでしょう。

> 周期の最小性という

　これも1次元でお考えになれば実に簡単な話です。Lが周期の関数fをTの周期だと思って展開した係数がA(m)、そのfを周期2Lと思って展開した係数がB(m)なら、（定数倍を除くと）A(m)=B(2m)となる。そしてBの奇数番目の係数が全部0になる。単に周波数（おっしゃるところの「単なる添え字」）を2倍に読み替えただけのことです。
　言い換えると、各方向Tjについて、周期LjのTj方向の係数を並べてみれば、「0でない係数が、整数のk倍(kは正の整数定数)の添字m=kn (n∈整数)を持つ係数A(m)にだけ現れる」ようなそういう最大のkについて、Lj/kは最も小さい周期である。

> Fが一変数の場合には自明ですが、

> 多変数の場合には、確かにT方向には平坦ですが、

> T方向以外はどうなるかわからないのではないでしょうか？

　どうやら誤解なさったようです。言うまでもないことだと思ったのですが、ANo.1で「Fは定数関数 F(x)=c である」と書いたのは、もちろん、その平坦な方向についてだけ述べています。何度も言いますけど、何次元だろうと1次元ずつについて考えれば足りるんですから。

> 例えば、exp (i<K|X>)で、特にK=(1,0,0)のとき、

　はてさて、一体何が「exp (i<K|X>)」なのでしょうか。F: R^3→R だと仰るのだから、これはFではなさそうですが…？？？
　うーむむ、いや、やっぱりF(X)=exp (i<K|X>) ということなのかなあ? 仮にそうだとすると、K=(1,0,0)ならT2,T3方向にはF(X)は一定値、つまり本質的に1次元であって、Xの最初の成分X1以外の変数には関係がない。なので、単位胞はK1方向に2πの幅を持ち、直交する方向には無限に広がっている、ということですね。これを直交していないベクトルの方向で見ると長い周期が見える、ということを仰ってるのだとすれば、それは単なる見かけだけの問題であり、その見かけがどうなるかを計算をするのが変換Tに他ならないでしょう。


> 例えば(0,1,0)や(0,0,1)は、上でいうところの半自明な周期に
> なっていませんか？

　(0,1,0)が何らかの意味で「周期」だとすれば、周期が0ってどういう意味？？　これはおそらく、すぐ上で述べた直交していないベクトルの方向で見ると長い周期が見えるの話をなさろうとしているのかな？
　申し訳ないけど、どう考えても「半自明な周期」の意味が分かりません。もしこれが、上記の「見かけの問題」の話ではないなら、何か勘違いなさってるだけではないのかなあ。

　ま、いずれにせよ、平行六面体の単位胞を直方体の単位胞に写像してから扱えば、変な混乱は全部片づきますよ、という結論は同じです。

お礼

回答ありがとうございました。回答の理解に時間を要してしまいお礼が遅れたことをお詫びします。

多分、おっしゃっていることの本質は、

*Tが決まればGが決まる。
*Gを使って、正方格子の場合の問題に帰着できる。
*正方格子の問題は、一変数の問題に帰着される。

で、より詳細には以下の通りであると思いますが、いかがでしょうか？

【周期の定義】
Fが、実３変数複素数値関数、τ\in R^3　としたとき、

τがFの周期であるとは、

F(X+τ)=F(x)

であることを意味する。

【ノーテーション】
Fが、実三変数複素数値関数のL1(L2?)関数

T:3次実正則行列で、
その列ベクトルが{T}_{1},{T}_{2},{T}_{3}とする。
G=2π{転置}{T}^{-1}

とし、G1,G2,G3は、Gの列ベクトルとする。

また、Vを、ユニットセルとする。つまり、

V={{z}_{1}{T}_{1}+{z}_{2}{T}_{2}+{z}_{3}{T}_{3}| 0≦z1,z2,z3≦1}

とする。|V|は、Vの体積を意味する。

さらに、
{T}_{1},{T}_{2},{T}_{3}が、いずれもFの周期とする(最小周期とは限らない)。

<考え方1>

【補助定理1-1(平面波の直交性)】
m=(m1,m2,m3)\in Z^3
n=(n1,n2,n3)\in Z^3

K=G*m=({m}_{1}{G}_{1},{m}_{2}{G}_{2}+{m}_{3}{G}_{3})
L=G*n=({n}_{1}{G}_{1}+{n}_{2}{G}_{2}+{n}_{3}{G}_{3})

であるとき、

\int_{V}exp(i<K|X>)*exp^{*}(i<L|X>)dxdydz
=2π|V|(K=L)

\int_{V}exp(i<K|X>)*exp^{*}(i<L|X>)dxdydz
=0(K≠L)

である。

【系　1-2(平面波の周期)】
m=(m1,m2,m3)\in Z^3 としたとき、

T1,T2,T3は、いずれも

exp (i<Gm|X>)

の周期である。

【本定理1】

F(X)={\sum}_{m\in Z^3}{a(m)*exp(i<G*m|X>)}

と展開できたとすると、

a(m)=\frac{1}{2\pi |V|}{\int}_{m\in {Z}^{3}} F(X)*exp^{*}(i<G*m|X>) dx1dx2dx3　である。

<考え方2>

【補助定理2-1:正方格子の場合のフーリエ級数展開】
Hが、実三変数複素数値関数で、(1,0,0) (0,1,0),(0,0,1)がHの周期であるとき

H(Y)={\sum}_{(m1,m2,m3)\ in Z^3} p(m1,m2,m3) *exp(2πi<(m1,m2,m3)|Y>)

が成り立つ。但し、

p(m1,m2,m3)=\frac{1}{2π}{\int}_{I}H(Y)*exp^{*}(2πi<(m1,m2,m3)|Y>)dy1dy2dy3

であり、Iは、
I={t1(1,0,0)+t2(0,1,0)+t3(0,0,1)|0≦t1,t2,t3≦1}
で定まる領域を意味する。

【補助定理2-2】

H(Y)=F(T*Y)

とした場合、Hの周期は(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)である。

【補助定理2-3】
X={T}^{-1}Y,
m=(m1,m2,m3)\ in Z^3 であるとき、

exp(2πi<m|Y>)
=exp(i<2πm|Y>)
=exp(i<2πm|{T}^{-1}X>)
=exp(i<Gm|X>)

【補助定理2-4】
X={T}^{-1}Y,
H(Y)=F(T*Y)
m=(m1,m2,m3)\ in Z^3 であるとき、

p(m1,m2,m3)=\frac{1}{2π}{\int}_{I}H(Y)*exp^{*}(2πi<(m1,m2,m3)|Y>)dy1dy2dy3
a(m)=\frac{1}{2\pi |V|}{\int}_{m\in {Z}^{3}} F(X)*exp^{*}(i<G*m|X>) dx1dx2dx3

としたとき、
a(m)=p(m)
が成立する。

p(m1,m2,m3)=\frac{1}{2π}{\int}_{I}H(Y)*exp^{*}(2πi<(m1,m2,m3)|Y>)dy1dy2dy3
={\int}_{I}\frac{1}{2π}F(T*T^{-1}X)*exp^{*}(exp(i<Gm|X>)dy1dy2dy3
={\int}_{I}\frac{1}{2π} F(T*T^{-1}X)*exp^{*}(exp(i<Gm|X>)dy1dy2dy3
={\int}_{V}\frac{1}{2π}F(T*T^{-1}X)*exp^{*}(exp(i<Gm|X>)det(T^{-1})　dx1dx2dx3 　　変数変換の公式
=a(m1,m2,m3)

【本定理2】
記号は【ノーテーション】に記載のとおりとする。このとき、

F(X)={\sum}_{m\in Z^3} a(m1,m2,m3) *exp(2πi<(Gm)|X>)dx1dx2dx3

a(m)=\frac{1}{2\pi |V|}{\int}_{m\in {Z}^{3}} F(X)*exp^{*}(i<G*m|X>) dx1dx2dx3

が成立する。

補足

＞単位胞はK1方向に2πの幅を持ち、直交する方向には無限に広がっている、ということですね。これを直交していないベクトルの方向で見ると長い周期が見える、ということを仰ってるのだとすれば、それは単なる見かけだけの問題であり、その見かけがどうなるかを計算をするのが変換Tに他ならないでしょう。

この部分が、私が混乱した箇所のように思います。
現時点では、論理のレベルではこの問題が、見かけの
問題であることが理解できたと思います。

ただ、イメージが今一つつかめていないので、具体例をいくつか考えて
イメージをつかもうと思います。

回答No.1

stomachman

（Ｑ1）最初の式について、左辺はF(x1,x2,x3)ではないかと。また、右辺は指数関数の中にiが抜けているのでは？
　さて、Gといういささか奇妙なものが入っています。ご存知でしょうけれども、普通はexpの肩に乗るのは(i(m1,m2,m3)・(x1,x2,x3))です。
　もしGがZ^3からZ^3への1:1対応(Z:整数)であるなら、3次元の点(m1,m2,m3)に付ける番号を置換でただ入れ替えただけ、ということになりますから、大抵はこれで良さそうです。（「大抵は」というのは、入れ替えたために総和の順番が変わってしまうので、タチの悪いFだとGに依存して発散したり異なる値に収束したりということが起こりそうだからです。）
　また、もしGがZ^3からZ^3への1:1対応でないのなら、特別なFの場合にしか通用しない式でしょう。すなわち、Fを決めたとき、Gは「普通の意味でのFのフーリエ級数の係数が0でない所(m1,m2,m3)」の集合の中での置換(permutation)になっている、という場合なら（上記の意味で）大抵はOKですね。

　ご質問の最後の方に書いてあるようにGがn次正方行列で(1/(2π))Tがその逆行列だ、というのであれば、
　　(n1,n2,n3) = G(m1,m2,m3)
として、
　　B(n1,n2,n3) = A(G(n1,n2,n3))
　　F(x1,x2,x3)=Σ{n1=-∞～∞}Σ{n2=-∞～∞}Σ{n3=-∞～∞}[B(n1,n2,n3)*exp(i<(n1,n2,n3)|(x1,x2,x3)>)]
とすれば（つまり総和をmではなくnについて取れば）全く問題ない訳ですが。


（Ｑ２）指数関数の中の符号が逆です。iじゃなくて-i。
なお、
　　exp(-i<(n1,n2,n3)|(x1,x2,x3)>) = = exp(-i n1 x1) exp(-i n2 x2) exp(-i n3 x3)
ですから、三重積分を一度にやろうとすることはなくて、x1, x2, x3について順番に行えば良い。だから1次元の場合について考えておけば十分なのです。（「１次元のことしか書いていない本」にはそういう理由があるわけです。）

（Ｑ３）可能です。絶対値が可積分の可測関数ならOKです。
　ただし、段差があるところでは、段差の左右端の平均値が値になりますし、１点だけ値が飛んでる所は近傍の平均値で埋められます。

（Ｑ４）「TがFの周期であり、かつ、任意の”実数”λに対して、λTもFの周期である。」とは
　　∀x∀λ(F(x+λT)=F(x))
ということでしょうか。だとすると、
　　∀x∀α(F(x+α)=F(x))
つまり「Fは定数関数 F(x)=c である」ということですよね。

お礼

回答ありがとうございました。

(Q1)ステートメントを全部書くと
F:R^3→R
T1,T2,T3：R^3の基底で、Ｔｊは、すべてFの周期
Tは第j列がTjとなるような3次正方行列
G:正方行列であり、かつG*T=2πとなる行列
(Gのi行ベクトルGi（を転置したもの）が、{T1.T2,T3}の逆格子となる行列)

で、任意の整数m1,m2,m3に対し、G(m1,m2,m3)とする。
G(m1,m2,m3)=m1G1+m2G2+m3G3

なので、周期格子が正方格子ではない周期を考えています。

A(m1,m2,m3)とか、G(m1,m2,m3)の(m1,m2,m3)は、単なる添え字です。
（紛らわしくてすみません）

そうした場合に

[A(m1,m2,m3)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]

を全てのm1,m2,m3で和すという考え方自体は多分正しいと思うのですが、
恐らく周期の最小性というのを何らかの形で定義できないと、
いけないのかなと考えています。

このときに、質問で、僕が勝手に「半自明な周期」と称しているものの存在が、
話を厄介にするように思います。

（Ｑ２）問題は、別の行列Ｈがあって、Ｈの第j列がすべて周期
だった場合に、どうなるかということです。

例えば、2次元の場合で、

T1=(1,√3/2)
T2=(0,1)

がFの周期だった場合、

H1=(2,√3)
H2=(0,1)

もFの周期ですが、この場合はH1,H2が最小でない（ユニットセルの面積が大きい）

では、

H1=(1,√3/2)
H2=(1,1+(√3/2) )

もまた、Fの最小周期になりますが、
この場合、H1とH2が張る平行四辺形上での
F*exp (i<K|X>>の積分と、T1,T2が張る空間上でのF*exp (i<K|X>>
は一致すると言い切れるのでしょうかということが気になります。

（Ｑ４）”だとすると、　　∀x∀α(F(x+α)=F(x))”

が成り立つ理由がわかりません。Fが一変数の場合には自明ですが、
多変数の場合には、確かにT方向には平坦ですが、
T方向以外はどうなるかわからないのではないでしょうか？

例えば、exp (i<K|X>)で、特にK=(1,0,0)のとき、
例えば(0,1,0)や(0,0,1)は、上でいうところの半自明な周期に
なっていませんか？