f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

質問

（問題）xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

回答No.2

cubics · ベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が４個で方程式が４本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式４本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ？
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

お礼

ご回答どうもありがとうございました！お礼が遅れてしまい申し訳ありません。よくわかりました。どうもありがとうございました！

回答No.3

Largo_sp

らあごです。
f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)
とおくと
f(1)=-6A
f(2)=2B
f(3)=...
f(4)=...
となりますよね…各々(x-1)がない(x-2)がない…ですから
すると f(5)=A(3*2*1)+B(4*2*1)+……
=-f(1)+4f(2)……=97

となります

途中は計算してみてください

お礼

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回答No.1

ranx

x=1,2,3,4 の時、
４つのうち３つの項がゼロになるような式を考えたのです。

お礼

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