aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3の最大値・最小値を求める
- aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3の最大値はM(a)であり、最小値はm(a)である。
- M(a)はf(a)とf(a+2)のうち大きな方を取り、m(a)はf(a)とf(a+2)のうち小さな方を取る。
- 最大値の場合はaが区間の中央より左、中央、中央より右の場合で場合分けが必要である。
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aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x
aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3がある。この関数の最大値・最小値をそれぞれM(a),m(a)とするとき、関数b=M(a),b=m(a)のグラフをab平面に(別々に)書け。 解答 y=f(x)のグラフは下に凸であるから、a<=x<=a+2におけるf(x)の最大値は区間の端点で取る。よって。 M(a)=max{f(a),f(a+2)}である。次に、最小値を求める。 頂点のx座標が区間a<=x<=a+2内にあるとき すなわち-1<=a<=1のとき、m(a)=f(1)=2 それ以外のとき、m(a)=min{f(a),f(a+2)} ・・・・・・・以下省略 教えてほしいところ M(a)=max{f(a),f(a+2)}だけだと説明が不十分な気がします。どんな時、f(a)でどんな時f(a+2)なのか記述しないといけないとおもうんですが・・ つまり最大値の場合は軸が区間の中央より左、中央、中央より右になるようなaの範囲に場合分けして、 書かないといけないのでは???
- luut
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解説が言ってることは間違っていないと思います。 この解答の解き方は「予選決勝法」と呼ばれるものです。 (「S台予備校」や「大学への数学」的に言うと 笑) 1.まず、極値の候補となるaの式を求めます。ここでは端点 f(a) = a^2 - 2a + 3 f(a+2) = a^2 + 2a + 3 f(1) = 2 (-1 <= a <= 1) ぐらいですかね。 2.求まった式を図示します。 y = a^2 - 2a + 3 y = a^2 + 2a + 3 y = 2 (-1 <= a <= 1) を横軸aにして、グラフにしてください。 3.この時点で、グラフが一番上をいっているのがM(a)、一番下をいっているのがm(a)になります。 つまりmaxのほうが、 a < 0 のとき M(a) = a^2 - 2a + 3 a >= 0 のとき M(a) = a^2 + 2a + 3 またminのほうが、 a < -1 のとき m(a) = a^2 + 2a + 3 -1 <= a <= 1 のとき m(a) = 2 a >= 1 のとき m(a) = a^2 - 2a + 3 となります。 いかがでしょうか? (簡単でしょう) まあそれにしても、ちょっとその元の 「最大値はM(a)=max{f(a),f(a+2)}である」 だけの説明だけでは足りないかなと思いますが(これはテストで減点されると思います)
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- naniwacchi
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こんばんわ。 >M(a)=max{f(a),f(a+2)}だけだと説明が不十分な気がします。 >どんな時、f(a)でどんな時f(a+2)なのか記述しないといけないとおもうんですが・・ その通りです! その考え方で合ってますよ。 質問で書かれている「解答」は、「解答」というよりも「解説」に近い内容だと思います。 実際には指摘されているように、場合分けして M(a)、m(a)をそれぞれ求めていくとすることになりますね。
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