静止膜電位の変化量の求め方

質問

下記の問について、参考書の解が理解できません。
とくに対数の計算式に理解が乏しいのかもしれませんが、どなたか、解説いただけませんでしょうか。

Ｎｅｒｎｓｔの式を用います。
Ｖｘ＝ＲＴ／ｚＦｌｎ[Ｘ]o／[Ｘ]in 静止膜電位なので、Ｘはカリウムイオンであり、ここではＲＴ／ｚＦｌｎ＝２．５８およびｌｎ１０＝２．３です。

Ｑ
カリウムイオンの細胞内濃度が１４０mmol/l、細胞外濃度が４．０mmol/lだったとする。ここで砂防外液に急速にこのイオンを負荷して細胞外濃度を８．０mmol/lに上昇させた。静止膜電位はこのイオンの平衡電位に等しいと仮定して、静止膜電位は何ｍＶ変動するか。有効数字２桁で求め、『３０ｍＶ上昇』と言った要領で『上昇』または『低下』で答えよ。
必要ならば、log2=0.30 log3=0.48 log5=0.70 log7=0.85を使用してよい。

まずはＶｘ値から求めるのでしょうか。。。

回答No.2

thegenus · ベストアンサー

私としましては、一桁の足し算と掛け算以外は嫌いなのですが、人助けの為に頑張ります。質問者さんも設問の正確な複写をするのと日本一簡単な数学問題集で対数の問題を一度くらい学習されるのを頑張ってね。

対数関数の具体的数値を求めるのは非常に大変で、log(140)=？と聞かれても分りません。大変だからかえって問題は簡単な対数の足し算引き算で求められるように作られています。問題における対数計算は、与えられた対数を使えるように、変形する事に他なりません。

対数の中の（掛け算割り算）は、対数の足し算と対数の引き算に変形できます。

変形は、
59log(AB/CD)=59*(logA+logB-logC-logD)
です。
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仮に、E４を、４mmol/lの時の膜電位を表す事にします。

今回の問題は４mmol/lの時の膜電位から８mmol/lの時の膜電位に変わる場合の、膜電位の差を求めるのですから、

E８-E４＝18ｍVが目標です。他に高校一年で習う予備知識が要りますがlogとは10の何乗になっているかという関数です。log100=2です。対数関数の決まっている値としてlog１＝０です。これも同じで、10を何乗すると１になるかであり、０乗すると１と覚えます。log１＝０です。
さらに例えば10を１乗すると１０ですし（log10=1）、10を-1乗すると1/10です。log(1/10)=-1です。次のようになります。

log100=2
log10=1
log１=0
log(1/10)=-1
log(1/100)=-2

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E８＝59log（８/１４０）約分して、
＝59log（２/３５）＝59log（２/（５*７））変形して、
＝59*（log２-log５-log７）

E４＝59log（４/１４０）
＝59log（１/３５）＝59log（１/（５*７））
＝59*（log１-log５-log７）
＝59*（０-log５-log７）
＝59*（-log５-log７）
ふつうlog１＝０など考えず０でなくなってしまうのですから分子が１の変形は単に分数（分母）がマイナスとすればいいのです。

求めるべき膜電位の変化ですが、引き算だから同じ項が消されます。
E８-E４＝59*（log２-log５-log７）－　59*（-log５-log７）
E８-E４＝59*｛（log２-log５-log７）－　(-log５-log７）｝
E８-E４＝59*（log２）

E８-E４＝59*　0.30　[ｍV]

各logを、問題最後に与えられている数値に置き換えて、引き算しても同じ答えになるでしょう。

ちなみに質問者さんの参考書の書籍名は何ですか。古本屋でいくらしたとかいうものでしょうか。自分で解けたら勉強は何より楽しいですよね。

お礼

丁寧に複写したつもりが、誤字脱字がありました、つたない文書を書いてしまいすみません＾＾；
さて、大変詳細にお書きいただき、本当にありがとうございました。
よく理解できました。私が自力で解いた時、ｌｏｇ５とｌｏｇ７しか出て来ずに、困っていました。
細胞外において、４ｍｍｏｌの時と８ｍｍｏｌの時、両方値を求めないといけないんですね！！
その意味での問題の解法が解らなかったので、大変助かりました。

ちなみに、この演習は生命科学演習という本の中の生理学～膜電位～から抜粋しております。

なかなか簡単には学力は伸びません。毎日毎日日中夜積み重ね、ようやく数か月後に『おや？』と感じるくらいですが、継続は力なり、と信じて頑張ります＾＾

ありがとうございました。

回答No.1

thegenus

勉強熱心ですね。

＞「ここではＲＴ／ｚＦｌｎ＝２．５８」
がよく分りません。記述はあっているのでしょうか。この部分は問題文なのですか、質問者さんの自作ですか。

まず「カリウムイオンの細胞内濃度が１４０mmol/l、細胞外濃度が４．０mmol/lだったとする。」時の膜電位（＝カリウムイオンの平衡電位）を求めて下さい。この問題文からでは私には無理です。

参考書の解と解説があるなら書いて下さい。問題文に過不足間違いがないかどうかも。ひょっとして問題文内に直接記述がなく、参考書の前の記述を参考にするように指示があって、それの部分の記述選びを質問者さんが間違えていませんかね。

一般的にはネルンストの式から

E=61.5log（）
E=26.7ln（）

のどちらかで解くように思うのですが。
19ｍV（1.9*10ｍV）ぐらい上昇？になりませんかね（テキトウですが）

補足

こんにちは、ご回答を寄せていただけて大変幸甚です。有難うございます。
文面に誤りもありましたので、再度詳細を記載させてください。（ちなみに回答は18ｍＶ上昇ですおで、回答者様のご指摘通りです！！）特に対数計算について、解説いただけると大変助かります。

よろしくお願いいたします。

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Ｑに対する全文
あるイオンＸの細胞内濃度[Ｘ]in、細胞外濃度を[Ｘ]oとするときＸの平衡電位Ｖｘが
Ｖｘ＝ＲＴ／ｚＦｌｎ[Ｘ]o／[Ｘ]inで与えられることはよく知られている。（Ｎｅｒｎｓｔの式）
ただしｚはイオンＸの価数、ｌｎは自然対数（ｅを底とする対数）、
Ｒは気体定数で８．３１Ｊ／ｋ・ｍｏｌ、Ｔは系の絶対温度
ＦはＦａｒａｄａｙ定数で９．６５×１０⁴（４乗）Ｃ／ｍｏｌである。

今、温度を２７℃で固定して考える。このときＴ＝３００Ｋであるので
ＲＴ／Ｆ＝２．５８×１０⁻²ｖ＝２．５８×１０ｍＶとなる。

自然対数を常用対数（１０を底とする対数）に直すためにｌｎ１０＝２．３０を用いると一般に
ｌｎＡ＝ｌｎ１０・ｌｏｇＡという関係が成り立つからＶｘをｍＶ単位で与える公式として
Ｖｘ＝５９／ｚ・ｌｏｇ [Ｘ]o／[Ｘ]in
が得られる。

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Ｑ
カリウムイオンの細胞内濃度が１４０．０ｍｍｏｌ／ｌ、細胞外濃度が４．０ｍｍｏｌ／ｌだったとする。ここで細胞外液に急速にこのイオンを負荷して細胞外濃度を８．０ｍｍｏｌ／ｌに上昇させた。静止膜電位はこのイオンの平衡電位に等しいと仮定して、静止膜電位は何ｍＶ変動するか。有効数字２桁で求め、『３０ｍＶ上昇』と言った要領で『上昇』または『低下』で答えよ。
必要ならば、下記数値を利用して良い。
ｌｏｇ２＝０．３０、　ｌｏｇ３＝０．４８、　ｌｏｇ５＝０．７０、　ｌｏｇ７＝０．８５