0.999‥‥∞‥‥999という表現は可能ですか？

質問

『1＝0.999‥‥』というのがありますが、

『0.999‥‥』を『0.999‥‥∞‥‥999』という表現に変えると、つまり、最初（0.999‥）と最後（‥999）は数字が決定しているが、真ん中は9が無限に並ぶという表現なのですが、

つまり、『数字全体としては完結または完了（初めと終わりが決定している）しているが、真ん中は数字が無限に存在する』、このような表現は可能でしょうか？

この表現だと、同じく

『0.000‥‥』を『0.000‥‥∞‥‥001』と表現すれば、真ん中は無限に0が続きますが、最初と最後が決定しているので、

例えば、真ん中の数字は無限だが、数字としては完結（完了）しているので

0.999‥‥∞‥‥999＋0.000‥‥∞‥‥001＝1

となり、

『1＝0.999‥‥∞‥‥999』は成立しない、つまり、『1＝0.999‥‥』も同じく成立しない、ということになりますか？

回答No.6

nananotanu

>『1＝0.999‥‥∞‥‥999』は成立しない、つまり、『1＝0.999‥‥』も同じく成立しない
前半は正しいけど、後半は正しくないよ。

a=0.999‥‥∞‥‥999、b=0.999‥‥
とおきましょう。
それぞれ、両辺を10倍すると
10a=9.99‥‥∞‥‥999(aとは小数点以下が一桁少ないのね：ここが貴方の標記の破綻しているところ)、10b=9.99‥‥
となります。元の式と、辺々引くと
9a=8.99‥‥∞‥‥9991、9b=9.00‥‥=9
になるから、それぞれ両辺を9で割れば
a=1じゃないけど、b=1

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.5

remilliascarlet

一度∞と表している限り完結することは出来ないのではないのでしょうか？
ちなみに0.999......は初項0.9公比0.1の無限等比級数より答えは1です。

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.4

nananotanu

終わりが決まっている、という時点で、無限小数ではありませんから、1と等しい数字ではありません。

中学の時の数学の先生が言いました(友人が0.3333・・・・・の三倍は[1ではなくて]0.9999・・・・・だから、1/3の3倍は1じゃない、と言ったのに対し)。「1と等しく無いなら、じゃぁ、その差はいくつだ？」

お礼

ご回答ありがとうございました！

例えば、∞の記号の部分がドラえもんのポケットのようになっていて、∞の記号の部分に無限の数が入っていて、するすると無限の数が出て来るようなイメージです。

回答No.3

stomachman

ご質問の表現は、…の右側の部分が「足し算をするときに桁合わせできる」というのが本質的なポイントですね。しかしもし「普通の数の持つ性質は、この表現も持っている」のだとすると、

(0.9‥‥∞‥‥9 + 0.0‥‥∞‥‥02) ÷ 2 = 1.0‥‥∞‥‥01

を分配則を使って計算すると桁合わせが失敗して

(0.9‥‥∞‥‥9 + 0.0‥‥∞‥‥02) ÷ 2 = 0.49‥‥∞‥‥95 + 0.0‥‥∞‥‥01 = 0.49‥‥∞‥‥96

ということになってしまう。普通の数と相当性質が違うものとしてしか定義できないでしょうね。

お礼

ご回答ありがとうございました！

「足し算をするときに桁合わせできる」

ありがとうございます！

回答No.2

noname#159916

例えば
＞0.000‥‥∞‥‥001
などは中央部分の∞が「空位を表す0が無限桁」と言ってる時点で全体がゼロであり、
「最後の001」が意味を成さず 001 でも 010 でも全体は同じくゼロ、と
言わざるを得ないと思います。

0.000‥‥∞‥‥001
と
0.000‥‥∞‥‥010
を比べてみても、一見下は上の10倍っぽく見えますが
上位の桁から辿ってみると大小関係が不明確です。

＞『0.999‥‥』を『0.999‥‥∞‥‥999』という表現に変えると、
＞つまり、最初（0.999‥）と最後（‥999）は数字が決定しているが、
＞真ん中は9が無限に並ぶという表現

「中央に無限に並ぶ」なら「最後」は存在しないし、
「最後」があるなら桁数が有限という事なのを無視してると思います。

＞0.999‥‥∞‥‥999

などは「無限に続く」部分も「最後」も同じ"9" なので一見正しそうに見えますが。

従って
＞0.999‥‥∞‥‥999＋0.000‥‥∞‥‥001＝1
のような一見正しそうな数式も無意味です。

お礼

ご回答ありがとうございました！

確かに、数の大小が不確かになってしまいますね。

回答No.1

f272

そういう数を作ってもいいけど，そういう数に対する加算をどのように定義したの？そしてその定義は普通の数における加算の定義とどういう関係にあるの？

お礼

ご回答ありがとうございました！