次のことをどう示せばいいですか？

質問

Π[k=1～ｎ](1-cos（((2k-1)/2n)π）)＝２＾（1－ｎ）

全然わかりません。教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

x^{2n}+1=0
というxの2n次方程式の2n個の根は
{e^{±i{(2k-1)/(2n)}π}_{k=1～n}
だからx^{2n}+1は2n個の因数に因数分解できて
x^{2n}+1=Π[k=1～n]{(x-[e^{i{(2k-1)/(2n)}π}])(x-[e^{-i{(2k-1)/(2n)}π}])}
となる
x=1とすると
2=Π[k=1～n]{(1-[e^{i{(2k-1)/(2n)}π}])(1-[e^{-i{(2k-1)/(2n)π}])}
↓
2=Π[k=1～n]{2(1-cos[{(2k-1)/(2n)}π])}
↓
2=2^nΠ[k=1～n](1-cos[{(2k-1)/(2n)}π])
↓
∴
Π[k=1～n](1-cos[{(2k-1)/(2n)}π])=2^{1-n}

お礼

どうもありがとうございます。
とても鮮やかな解答だと思います。