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対称式

  • 質問No.7045880
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x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。
で、
(1)y/x+x^2+y^2+x/yが,y^2+x^2/xy +x^2+y^2になる理由。なぜ二乗が2つになっているのですか。これが、対称式でyx,xyとx^2+y^2を入れ替えたのなら、なぜx^2+y^2/x^2+y^2 +xyにならないのですか。

(2)(1+ 1/xy){(x+y)^2-2xy}になる理由を教えて下さい。
{(x+y)^2-2xy}は、基本対称式でx^2+y^2だと分かりますが、なぜy^2+x^2/xyが(1+ 1/xy)になるのか分かりません。

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ベストアンサー率 59% (761/1282)

まず、数式の書き方について。

y^2+x^2/xy +x^2+y^2

この式は

(y^2+x^2)/(xy)+x^2+y^2

と書くように心がけてください。紙に書き込むときはここまでする必要はないのですが、1列で打ち込む際は、どこまでが分子でどこまでが分母であるか明確に書かないと誤解を生みます。

元の式は

y^2+(x^2/x)*y+x^2+y^2

と解釈される可能性が高いです。(少なくとも先頭のy^2が分子に入るとは考えられない。"+"よりも"/"のほうが演算子の優先順位が高いのですから当然のことです)


ではここからはご質問にお答えします。

(1)
y/x+x/y
この式を通分すればよい。分母は(xy)となりますので
y/x+x/y=(y*y)/(x*y)+(x*x)/(y*x)=(y-2+x-2)/(xy)
となります。x^2+y^2は何も変化しません。

(2)
これは何か勘違いをしていますね。
(y-2+x^2)/(xy)+x^2+y^2=(x^2+y^2)/(xy)+(x^2+y^2)
となります。分数式の分子の順番を並び替えただけですが。

よく見ると(x^2+y^2)が共通になっています。つまり、(x^2+y^2)をくくりだし因数分解できます。

(x^2+y^2)/(xy)+(x^2+y^2)=(x^2+y^2)*(1/(xy))+(x^2+y^2)*1=(x^2+y^2){1/(xy)+1}
となります。このように1/(xy)+1が出てきます。
補足コメント
noname#145010
すみません!解いてみたのですが、(x^2+y^2)*(1/(xy))+(x^2+y^2)*1=(x^2+y^2){1/(xy)+1}のやり方が分かりません。
申し訳ありませんが、もう少し詳しく、お願い致します!
投稿日時:2011/10/03 10:07
お礼コメント
noname#145010
有り難う御座いました。
投稿日時:2011/10/03 09:52

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 59% (761/1282)

> すみません!解いてみたのですが、(x^2+y^2)*(1/(xy))+(x^2+y^2)*1=(x^2+y^2){1/(xy)+1}のやり方が分かりません。
> 申し訳ありませんが、もう少し詳しく、お願い致します!

AB+AC=A(B+C)
これ、わかりますか?

A=x^2+y^2
B=1/(xy)
C=1

としたものが質問にある式です。

これがわからないようなら因数分解の初歩を確認したほうが良いでしょう。
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