高校生の問題です。

質問

次の各問いに答えよ

(1)x>-1のとき、x+1/x+4x/(x+1)≧3　を求めよ。

(2)x>0のとき、x+1/x+4x/(x^2+1) の最小値と最小値を与えるxを求めよ。

(3)x>0のとき、x/(x^2-x+4) の最大値と最大値を与えるxの値を求めよ。

(1)は与式を変形して (x-1)^2≧０ を示してといたのですが
(2)(3)が解けません。

どなたか解答を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

eco1900 · ベストアンサー

次の各問いに答えよ。

(2)x>0のとき、x+1/x+4x/(x^2+1) の最小値と最小値を与えるxを求めよ。

●P＝x+1/x+4x/(x^2+1)　とします。

　更に式を整頓しておくと、P＝(x^2＋1)/x＋4x/(x^2＋1)　となりますね。

　x＞0なので…x^2＋1＞0だから「相加相乗平均」を考えましょう。

　(x^2＋1)/x＋4x/(x^2＋1)≧2√(　{(x^2＋1)/x} × {4x/(x^2＋1)}　)

　(x^2＋1)/x＋4x/(x^2＋1)≧2√4

　(x^2＋1)/x＋4x/(x^2＋1)≧4　…ということで、P≧4

　結局、等号成立の時にPは最小値4をとります。

　等号成立の時って「(x^2＋1)/x＝4x/(x^2＋1)の時」だから、これを解いてx＝1

　以上より、最小値4（x＝1の時）【答え】

(3)x>0のとき、x/(x^2-x+4) の最大値と最大値を与えるxの値を求めよ
●Q＝x/(x^2-x+4)　とします。

　x＞0なので…分母分子をxで割りましょう。

　Q＝x/(x^2-x+4)＝１／(x－1＋4/x)

　この形にしておいて、分母について考えるといいですよ^^。

　Qの分母…　x－1＋4/x

　＊x＞0、4/x＞0だから「相加相乗平均」を考えると…

　　x＋4/x≧2√(x×4/x)

　　x＋4/x≧2√4

　　x＋4/x≧4

　…ということで、x－1＋4/x≧4－1　→　x－1＋4/x≧3

　…この逆数を取ると丁度Qになりますね。（大小も逆になりますね）

　 　Q＝１／(x－1＋4/x)≦3

　結局、等号成立の時にQは最大値3をとります。

　等号成立の時って「x＝4/xの時」だから、これを解いてx＝2

　以上より、最大値3（x＝2の時）【答え】

長くなりましたが、こんな感じでしょうか^^A。

お礼

なるほど！
相加相乗でしたか・・・。
丁寧な解答をありがとうございます。