等号と同値

質問

同値(≡)と等号(＝)の違いは何なのでしょうか。
同値の定義は知ってるのですが、等号の定義がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ご承知の通り，論理学における≡(同値)は∧や∨と同様の演算記号です．すなわち，
A≡B
は（「AとBが同じ」という事実を言っているものではなくて，）単に
(A ∧ B)∨(￢A ∧ ￢B)
と全く同じ意味であり，（A≡B)全体が一つの真偽値（真であるか，あるいは偽である）を持つ式に過ぎません．
　注意すべき点として，
(A≡B)∧(B≡C)
のつもりでうっかり
A≡B≡C
などと書くと，これは論理式
(A≡B)≡C
のことであって，
(A≡B)∧(B≡C)
とは一致しませんネ．

　一方，数学の等号=は，その両辺に「対象」（集合など）が来る関係であり，その意味については
http://okwave.jp/qa/q217225.html
の最後の回答に簡単な説明があります．

回答No.2

thegenus

私見ですが回答します。

そもそも意味と固有名詞で混乱してるんじゃないですかね。≡は合同記号。
ですから質問は「合同記号と等号の違いはなんでしょうか」になります。

同値の記号には、⇔、≡、＝などがあって、さらに意味を付加させた記号（同値関係？の記号）として、≡や＝を慣習的に用いているのでは？

△ABC≡△DEF
△ABC＝△DEF（面積などが”等しい”）

仮に⇔を同値の意味しか持たない記号として用いると、

△ABC⇔△DEF
1+1+1⇔2+1⇔3

となりますが、それじゃなんだかわからないし、必要十分な記号でもないから、その意味であるための十分条件を満たしてくれる記号として、合同記号と等号を活用しているのです。この理由は後付けですがね。

また、単なる等式（＝）ではなく、常に等式（＝）である意味を持つ恒等式を明示したい時、合同記号を使うようです。

同値の関係には違いないが、その記号が使われている場合の同値の関係が、その記号の定義ということです。

以上のように考えました。

補足

ご回答ありがとうございます。

私としては
「AならばB」かつ「BならばA」
をみたすA,Bの関係を表す同値という論理記号のことを申し上げたのですが。

＞また、単なる等式（＝）ではなく、常に等式（＝）である意味を持つ恒等式を明示したい時、合同記号を使うようです。

等号の種類として恒等式を表す合同記号があるんですね。ありがとうございます。

数学の等号の明確な定義はないのでしょうか。

回答No.1

bara2001

同値は右辺と左辺の命題の真偽が等しい。
等号は右辺と左辺の式の値が等しい。

まあそれ以外にも≡や＝の使い方はありますが、同値や等号というときにはこれです。

補足

ご回答ありがとうございます。

命題の値のとり方は真と偽の二通りだと教わったので、
おっしゃるような定義ですと式を命題とすれば、命題の真偽が等しいことと、式(命題)の値が等しいことは、私からするとまったく同じことを表しているような気がするのですが。
私はなにか間違って解釈しておりますか？