組み合わせです！

質問

正八角形について，次のものはそれぞれいくつあるか。

(１)対角線
(２)頂点を結んでできる三角形(３)(２)の三角形の中で
正八角形と辺を共有しないもの

初めて見る問題で
手がつけられません(;-;)
考え方を教えてください！よろしくお願いします。

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

初めて見る問題だから解らないって・・・

・正八角形とは何か
・対角線とは何か
・頂点とは何か
・三角形とは何か
・辺を共有するとはどういうことか

これらは解りますよね。
これらが解るなら、この問題はじっくり考えれば解るはずです。
最悪の場合でも、実際に正八角形を書いて、その中に対角線や三角形を書いてみれば、解ります。

・・・だけど、それでも解らないから質問してるんですよね。

あなたが自分で考えて正解を出せるチャンスを奪ってしまうことになりますが、正解を。

説明しやすいように、正八角形の頂点に、順番に、A,B,C,D,E,F,G,H　と名前をつけます。

(1)
Aから、各頂点に線を引きます。
A-A　同じ点を結んでも線にならない
A-B　隣の点なので、対角線ではなく、辺
A-C　対角線
A-D　対角線
A-E　対角線
A-F　対角線
A-G　対角線
A-H　隣の点なので、対角線ではなく、辺

Aからは、5本の対角線が引けます。

B～Hからも、同様に5本の対角線が引けます。

なので、対角線の数は、5×8＝40　・・・としたいところですが、
A-C と C-A は同じ対角線、A-D と D-A は同じ対角線、というように、それぞれの対角線は2回ずつカウントされています。
なので、対角線の数は、40÷2＝20本。

一般的に、
対角線の総本数＝(頂点の数－3)×頂点の数÷2

(2)
8つの頂点から、3つの頂点を選んで、その3点で三角形を作るだけ。
8C3で求められる。
8C3＝56

(3)
2辺を共有する三角形は
ABC,BCD,CDE,DEF,EFG,FGH,GHA,HAB,の8個

1辺だけを共有する三角形のうち、
ABを共有する三角形は
ABD,ABE,ABF,ABG　の4つ
他の辺でも同様なので、4×8＝32個

辺を共有する三角形は、8＋32＝40個

辺を共有しない三角形は、56－40＝16個

お礼

なんかすいません;

ありがとうございますm(__)m
助かりました。